Ячейки Бенара

Ячейки Бенара или Рэлея — Бенара — возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, то есть равномерно подогреваемой снизу.

Ячейками Бенара можно объяснить происхождение вулканических образований в форме пучка вертикальных колонн — такими являются памятники природы «Девилс-Тауэр» (США) и «Мостовая гигантов» (Северная Ирландия).

Управляющим параметром самоорганизации служит градиент температуры. Вследствие подогрева в первоначально однородном слое жидкости начинается диффузия из-за возникшей неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента, диффузия не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестерёнки)^[1]. При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос, что отчетливо видно на бифуркационной диаграмме или дереве Фейгенбаума.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки^[2]. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони, возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.

Аналитическое решение задачи (задача Рэлея)

Важным в задаче о конвекции в плоском слое является тот факт, что для записи её в приближении Буссинеска возможно получить точное аналитическое решение уравнений гидродинамики. Правда, простое точное решение удаётся найти лишь при абстрактной постановке с двумя свободными недеформируемыми границами слоя (как сверху, так и снизу), более реалистичные варианты таких решений не имеют (но для них хорошо работают приближённые аналитические методы, например метод Галёркина).

Приведём здесь решение задачи^[3]^[4]. Примем, что ось z направлена вверх, перпендикулярно слою, оси x и y параллельны границе. Начало координат удобно выбрать на нижней границе слоя. Исходные уравнения конвекции:

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = - \frac{1}{ρ_{0}} \nabla p + ν Δ \vec{v} - β T \vec{g},$

$\frac{\partial T}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla T = χ Δ T,$

$div \vec{v} = 0 .$

Безразмерная форма уравнений конвекции для малых возмущений равновесия, в предположении экспоненциального роста возмущений во времени (т. н. «Нормальные» возмущения) — $\vec{v}, θ \sim e^{λ t}$ :

$\frac{λ}{P r} \vec{v} = - \nabla p + Δ \vec{v} + R a θ {\vec{e}}_{z},$

$λ θ = Δ θ + \vec{v} \cdot {\vec{e}}_{z},$

$div \vec{v} = 0,$

где ${\vec{e}}_{z}$ — единичный вектор оси z, $P r, R a$ — соответственно число Прандтля и число Рэлея, $λ$ — инкремент (скорость роста) возмущений. После обезразмеривания переменная z изменяется от 0 до 1. Т. н. «Нормальные» возмущения являются частными решениями линейной системы дифференциальных уравнений, и поэтому находят широкое применение при исследовании задач в самых различных областях.

Постановка граничных условий производится в предположении, что обе границы недеформируемые, но свободные — при этом отсутствуют касательные напряжения в жидкости. Граничные условия:

$\vec{v} \cdot {\vec{e}}_{z} = 0$ , — недеформируемость границ.

$σ_{x z} = σ_{y z} = 0$ , — отсутствие касательных напряжений. Так как считаем, что работаем с жидкостью, для которой справедливо уравнение Навье — Стокса, то можем явно записать вид тензора вязких напряжений и получить граничные условия для компонент скорости.

$σ_{i j} = η (\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}})$ — закон Навье,

Принимая обозначения для компонент скорости: $\vec{v} = {u, v, w}$ , перепишем граничное условие для касательных напряжений в терминах скорости:

$\frac{\partial u}{\partial z} = 0,$

$\frac{\partial v}{\partial z} = 0$ .

Для возмущений температуры на границе принимается нулевое значение. В итоге, система граничных условий задачи такова:

$z = 0, 1 :$

$w = 0; \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial v}{\partial z} = 0; θ = 0$

Теперь, предполагая возмущения нормальными по пространству — $\vec{v}, p, θ \sim e^{λ t} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$ (здесь $\vec{k}$ — волновой вектор возмущения, параллельный плоскости $x y$ ) и заменяя операторы дифференцирования — $Δ = \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} - k^{2}, \nabla = {i \vec{k}; \frac{\partial}{\partial z}}$ , можем переписать систему уравнений конвекции в виде системы ОДУ:

$\frac{λ}{P r} \vec{v} = - \nabla p + Δ \vec{v} + R a θ {\vec{e}}_{z},$

$λ θ = Δ θ + w,$

$div \vec{v} = 0 .$

Взяв двойной ротор от первого уравнения и спроектировав его на ось z, получим окончательную систему уравнений для возмущений:

$\frac{λ}{P r} Δ w = Δ^{2} w + k^{2} R a θ,$

$λ θ = Δ θ + w .$

Исходя из граничных условий, а также из того, что все производные в системе чётного порядка, удобно представить решение в виде тригонометрических функций:

$w = a \sin n π z,$

$θ = b \sin n π z,$

где n — целое число. Решение в виде синусов удовлетворяет сразу всем граничным условиям.

Далее, обозначая $D = n^{2} π^{2} + k^{2}$ , и подставляя предполагаемый вид решения в уравнения, получим линейную однородную алгебраическую систему для a, b. Из её определителя можно выразить зависимость $R a (λ)$ :

$R a (λ) = \frac{1}{P r k^{2}} (D λ^{2} + D^{2} (1 + P r) λ + P r D^{3})$

Полагая здесь $λ = 0$ — граница монотонной устойчивости, невозрастание нормальных возмущений — получим формулу для определения критического числа Рэлея n-ой моды возмущений:

$R a^{*} = \frac{(k^{2} + n^{2} π^{2})^{3}}{k^{2}} .$

Наименьшее число Рэлея получится при $n = 1$ . Минимум зависимости, как несложно убедиться, приходится на $k = \frac{π}{\sqrt{2}}$ , а само минимальное число Рэлея равно $R a^{*} = \frac{27}{4} π^{4} \approx 657$ . В соответствии с критическим волновым числом в слое возникают структуры в виде валов ширины $\sqrt{2}$ (в безразмерных единицах).

Для задач с другими вариантами границ критическое число Рэлея оказывается выше. К примеру, для слоя с двумя твёрдыми границами оно равно 1708^[5], для слоя с твёрдой верхней и свободной нижней границами — 1156, меняются и критические волновые числа. Однако качественно картина конвективных валов не изменяется.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

L.E.Scriven & C.V.Sternling «Эффекты Марангони»

Ссылки

↑ Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 84, рис. 139—140
↑ Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 85, рис. 140—141
↑ Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1972 — § 5
↑ Фрик П. Г. Турбулентность: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 // Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 — с. 33-37
↑ Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., там же, § 6

[1] Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 84, рис. 139—140

[2] Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 85, рис. 140—141

[3] Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1972 — § 5

[4] Фрик П. Г. Турбулентность: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 // Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 — с. 33-37

[5] Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., там же, § 6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Ячейки Бенара

Содержание

Аналитическое решение задачи (задача Рэлея)

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Ячейки Бенара

Аналитическое решение задачи (задача Рэлея)

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск