4-тензор

4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени.

• Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.

В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:

$A_{i_1{i}_2\dots i_n}^{j_1{j}_2\dots j_m},$

причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть $i_1=0,1,2,3,i_2=0,1,2,3$ итд.

При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так:

$A_{i_1{i}_2\dots i_n}^{\prime j_1{j}_2\dots j_m}={\beta }_{j_1{k}_1}{\beta }_{j_2{k}_2}\dots {\beta }_{j_m{k}_m}{\alpha }_{i_1{l}_1}{\alpha }_{i_2{l}_2}\dots {\alpha }_{i_n{l}_n}{A}_{l_1{l}_2\dots l_n}^{k_1{k}_2\dots k_m}$,

где ${\alpha }_{ij}$ — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а ${\beta }_{ij}$ — обратная ей.

Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.

Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора $\hat{g}$, например для 4-тензора второго ранга

$A^{ij}=g^{jk}{A}_k^i$

Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.

Преимущества четырёхмерной записи

Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.

Примеры

4-тензоры в ОТО

• метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствие гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он, обычно, имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
• тензор кривизны
• тензор Риччи
• тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).

4-тензор электромагнитного поля

Шаблон:Основная статья Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.

Определение через 4-потенциал

4-тензор определяется через производные от 4-потенциала:

$F_{ik}=\frac{\partial A_k}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^k}$.

Определение через трёхмерные векторы

4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:

$F_{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ -E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ -E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right)$

$F^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x/c& -E_y/c& -E_z/c\\ E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right)$

Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.

Сила Лоренца

Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид

$mc\frac{d{u}^i}{ds}=\frac{q}{c}{F}^{ik}{u}_k$,

где $u^k$ — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.

См. также

• 4-импульс
• 4-скорость
• 4-потенциал
• 4-ток
• Тензор электромагнитного поля
• Тензор энергии-импульса
• Тензор Эйнштейна
• Метрика пространства-времени

Внешние ссылки

• Шаблон:Cite webШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Cite web