Monstrous moonshine

Monstrous moonshine, также известная как Гипотеза чудовищного вздора — неожиданная связь простой конечной группы-монстра $M$ с модулярными функциями (в частности, с $j$-инвариантом). Была выдвинута как гипотеза в 1970-х годах и доказана в 1992 году.

Название

Monstrous moonshine также называется в английском языке moonshine theory, а до момента доказательства называлась monstrous moonshine hypothesis.

В русском языке она может именоваться оригинальным англоязычным названием или переводиться разными способами:

• Гипотеза чудовищного вздора.
• Лунные гипотезы.
• Лунный свет.
• Moonshine-гипотеза.

История

Первое проявление связи обнаружено в конце 1970-х годов Шаблон:Iw, обратившим внимание на то, что коэффициенты ряда Фурье нормализованного $j$-инварианта:

$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+\cdots$

($\tau$ — Шаблон:Iw, $q=e^{2\pi i\tau }$) являются специфическими линейными комбинациями размерностей $r_i$ неприводимых представлений группы $M$:

$\begin{array}{cc}1& =r_1\\ 196884& =r_1+r_2\\ 21493760& =r_1+r_2+r_3\\ 864299970& =2r_1+2r_2+r_3+r_4\\ 20245856256& =3r_1+3r_2+r_3+2r_4+r_5\\ & =2r_1+3r_2+2r_3+r_4+r_6\\ 333202640600& =5r_1+5r_2+2r_3+3r_4+2r_5+r_7\\ & =4r_1+5r_2+3r_3+2r_4+r_5+r_6+r_7\\ \dots \end{array}$.

Джон Томпсон для объяснения феномена предложил изучить степенные ряды с коэффициентами, являющимися характерами представлений монстра, вычисленными для различных его элементов. В 1979 году Джон Конвей (предложивший термин monstrous moonshine, впервые узнав о соотношении Маккея) и Шаблон:Iw построили такие функции (ряды Маккея — Томпсона), и обнаружили их сходство с Шаблон:Нп2, сформулировав содержание гипотезы: каждый ряд Маккея — Томпсона соответствует определённой главной модулярной функции.

В 1992 году гипотеза была доказана учеником Конвея Ричардом Борчердсом, впоследствии получившим Филдсовскую премию, в том числе за этот результат. Доказательство существенным образом опиралось на свойства некоторой алгебры вершинных операторов (Шаблон:Iw), для которой группа-монстр является группой симметрий, и тем самым обнаружена связь утверждения с теорией струн и конформной теорией поля (основывающихся на алгебрах вершинных операторов).