Sinc-фильтр

Sinc-фильтр — в обработке сигналов идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя заданную низкочастотную полосу сигнала. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — функцию sinc. Реальные фильтры могут по своим характеристикам только приближаться к sinc-фильтру, так как идеальный sinc-фильтр физически нереализуем в силу бесконечного порядка передаточной функции и бесконечности ядра по времени в обе стороны (это накладывает ограничения на его реализацию как во временно́й области, так и в частотной).

Sinc-фильтры используются для математического описания обработки сигналов — в частности, при доказательстве теоремы Котельникова и получения ряда Котельникова.

Характеристики

Временны́е

Нормированная импульсная характеристика. Для наглядности приведена часть бесконечной функции

Нормированная частотная характеристика

Пусть $f_0$ — частота среза (ограничивающая полосу пропускания) в герцах. Импульсная характеристика такого фильтра получается при помощи обратного преобразования Фурье от частотной характеристики:

$h(t)={ℱ}^{-1}\left\{H\left(f\right)\right\}\left(t\right)=2f_0\cdot \frac{\sin \left(2\pi f_{0}t\right)}{2\pi f_{0}t}=2f_0\cdot \mathrm{sinc}\left(2f_{0}t\right)$,

где $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$ — нормированная функция sinc.

Частотные

Частотная характеристика фильтра:

$H\left(f\right)=\mathrm{rect}\left(\frac{f}{2f_0}\right)$,

где $\mathrm{rect}$ — прямоугольная функция.

Пусть $x\left(t\right)$ — любая функция вещественного аргумента, для которой существует преобразование Фурье $ℱ\{x\}=X(\omega )$. Тогда sinc-фильтр, имеющий импульсную характеристику $h\left(t\right)$, воздействует на сигнал таким образом, что на его выходе частоты выше частоты среза зануляются по амплитуде, а компоненты частотной характеристики ниже частоты среза остаются неизменными:

$ℱ\{h*x\}=\{\begin{array}{cc}X\left(\omega \right)& \left|\omega \right|\le 2\pi f_0\\ 0& \left|\omega \right|>2\pi f_0\end{array}$,

где $*$ — оператор свёртки.

См. также

• Алиасинг
• Сглаживание (антиалиасинг)
• Фильтр нижних частот

Литература

• Шаблон:Книга

Шаблон:Нет источников