Дзета-функция Дедекинда

Дзета-функция Дедекинда ${\zeta }_K(s)$ — это дзета-функция алгебраического числового поля $K$, являющаяся обобщением дзета-функции Римана.

Определение и основные свойства

Пусть $K$ — алгебраическое числовое поле, $s$ — комплексное число, тогда

${\zeta }_K(s)=\sum _{I\subseteq {𝒪}_K}\frac{1}{(N_{K/\mathbb{Q}}(I){)}^s}$

где $I$ пробегает все ненулевые идеалы кольца целых ${𝒪}_K$ поля $K$, $N_{K/\mathbb{Q}}$ — абсолютная норма идеала $I$ (которая равна индексу $[{𝒪}_K:I]$). Этот ряд сходится абсолютно для всех $s\in ℂ$ с действительной частью $\mathrm{Re}(s)>1$.

В общем случае дзета-функция Дедекинда определяется как

${\zeta }_K(s)=\sum _{𝔞}\frac{1}{N(𝔞{)}^s}$

где $𝔞$ пробегает все целые дивизоры поля $K$, а $N(𝔞)$ обозначает норму дивизора $𝔞$.

Свойства

• Если $K=\mathbb{Q}$ — поле рациональных чисел, то ${\zeta }_{\mathbb{Q}}(s)=\zeta (s)$ - дзета-функции Римана.

Эйлерово произведение

Дзета-функция Дедекинда $K$ разлагается в эйлерово произведение по всем простым идеалам $P$ кольца ${𝒪}_K$

${\zeta }_K(s)=\prod _{P\subseteq {𝒪}_K}\frac{1}{1-\frac{1}{(N_{K/\mathbb{Q}}(I){)}^s}}$

при $\mathrm{Re}(s)>1$.

Эта формула выражает единственность разложения идеала $I$ в произведение простых идеалов в дедекиндовом кольце ${𝒪}_K$. При $\mathrm{Re}(s)>1$ это произведение ненулевых множителей абсолютно сходится к ${\zeta }_K(s)$, откуда следует, что в этой области ${\zeta }_K(s)\ne 0$.

Аналитическое продолжение

${\zeta }_K(s)$ имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, которое является мероморфной функцией, имеющей простой полюс в точке $s=1$.

Функциональное уравнение

Как и дзета-функция Римана, дзета-функция Дедекинда удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, связывающему значения ${\zeta }_K(s)$ и ${\zeta }_K(1-s)$. Конкретно, пусть $D(K)$ — дискриминант поля $K$, $r$ — число действительных вложений, а $t$ — число пар комплексно-сопряжённых вложений поля $K$ в $ℂ$. Обозначим

${\mathrm{\Gamma }}_{𝐑}(s)={\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }(s/2)$

${\mathrm{\Gamma }}_{𝐂}(s)=2(2\pi {)}^{-s}\mathrm{\Gamma }(s)$

где $\mathrm{\Gamma }(s)$ — гамма-функция. Тогда функция

${\mathrm{\Lambda }}_K(s)=|D(K){|}^{s/2}{\mathrm{\Gamma }}_{𝐑}^r(s){\mathrm{\Gamma }}_{𝐂}^t(s){\zeta }_K(s)$

удовлетворяет функциональному уравнению

${\mathrm{\Lambda }}_K(s)={\mathrm{\Lambda }}_K(1-s)$

Связь с характеристиками поля

Как и дзета-функция Римана, значения дзета-функции Дедекинда заключают в себе (хотя бы гипотетически) важную арифметическую информацию о $K$.

Например, точка $s=1$ — простой полюс ${\zeta }_K(s)$, и для поля алгебраических чисел $K$ степени $n=r+2t$ ($r,t$ определены выше) вычет в этой точке равен

$\underset{s\to 1+0}{lim}(s-1){\zeta }_K(s)=\frac{2^{r+t}{\pi }^{t}R(K)}{w(K)\sqrt{|D(K)|}}h(K)$

где $h(K)$ — число классов дивизоров, $D(K)$ — дискриминант поля, $R(K)$ - регулятор поля $K$, а $w(K)$ — число содержащихся в $K$ корней из 1 (порядок подгруппы кручения ${𝒪}_K^{\times }$). Вычет в этой точке дает аналитическую формулу для числа классов.

Другой пример — нуль $s=0$, порядок $u$ которого равен рангу группы единиц кольца ${𝒪}_K$. Предел в этой точке равен

$\underset{s\to 0}{lim}{s}^{-u}{\zeta }_K(s)=-\frac{h(K)R(K)}{w(K)}.$

Это следует из функционального уравнения и соотношения $u=r+t-1$.

Из функционального уравнения и того, что $\mathrm{\Gamma }(-n)=\mathrm{\infty }$ для всех натуральных $n$ получаем, что ${\zeta }_K(-2n)=0$. ${\zeta }_K(-2n-1)=0$ для всех $K$, кроме случая, когда $K$ полностью действительно (т.е. когда $t=0$, т.е. когда $K=\mathbb{Q}$ или $K=\mathbb{Q}[\sqrt{d}],d>0$). В полностью действительном случае, Зигель показал, что ${\zeta }_K(s)$ - ненулевое рациональное число для отрицательных нечетных $s$. Стивен Лихтенбаум предложил гипотезу о выражении специальных значений для этих рациональных чисел в терминах алгебраической K-теории поля $K$.

Связь с дзета- и L-функциями

В случае, когда $K$ — абелево расширение $\mathbb{Q}$, его дзета-функция Дедекинда ${\zeta }_K(s)$ может быть представлена в виде произведений L-функций Дирихле. К примеру, если $K$ — квадратичное поле, то это означает, что

$\frac{{\zeta }_K(s)}{{\zeta }_{\mathbb{Q}}(s)}=L(s,\chi )$

где $\chi$ — это символ Якоби, используемый как характер Дирихле. Это соотношение является аналитической переформулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.

В общем случае, если $K$ — расширение Галуа поля $\mathbb{Q}$ с группой Галуа $G$, то его дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления $G$, а значит разлагается в произведение L-функций Артина неприводимых представлений Артина $G$.

Связь с L-функциями Артина показывает, что если $L/K$ — расширение Галуа, то $\frac{{\zeta }_L(s)}{{\zeta }_K(s)}$ является голоморфной (${\zeta }_K(s)$ "делит" ${\zeta }_L(s)$). В случае произвольного расширения аналогичное утверждение следует из гипотезу Артина для L-функций

Кроме того, ${\zeta }_K(s)$ является дзета-функцией Хассе-Вейля для $\mathrm{Spec}{𝒪}_K$ и мотивной L-функцией мотива, приходящего из когомологии $\mathrm{Spec}K$.

Расширенная гипотеза Римана

Расширенная гипотеза Римана (РГР) утверждает, что для любого алгебраического числового поля $K$ если $s$ — комплексный корень уравнения ${\zeta }_K(s)=0$, лежащий в так называемой критической полосе $0⩽\mathrm{Re}s⩽1$, то его действительная часть $\mathrm{Re}s=\frac{1}{2}$.

Обычная гипотеза Римана получается из расширенной для $K=\mathbb{Q},{𝒪}_K=\mathbb{Z}$.

Из РГР следует эффективная версия[6] теоремы Чеботарёва о плотности: если $L/K$ - конечное расширение Галуа с группой Галуа $G$, и $C$ - множество сопряженных классов $G$, число неразветвленных простых чисел в $K$ с нормой, не превосходящей $x$ с классом сопряженности Фробениуса в $C$ растет как

$\frac{|C|}{|G|}(\mathrm{l}\mathrm{i}(x)+O(\sqrt{x}(n\ln x+\ln |D(K)|)\left)\right)$

причем константа в $O$ абсолютна, $n$ - степень расширения $L$ над $\mathbb{Q}$, а $D(K)$ - дискриминант.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга