Многообразие Эйнштейна

Многообразие Эйнштейна — риманово или псевдориманово многообразие, тензор Риччи которого пропорционален метрическому тензору.

Это условие удовлетворяется для решений уравнений Эйнштейна с возможно не нулевой космологической постоянной, но вообще говоря, размерность многообразия Эйнштейна и его сигнатура могут быть произвольными — они не обязательно должны быть четырёх-мерными лоренцевыми многообразиями изучаемых в общей теории относительности.

Определение

Риманово многообразие является многообразием Эйнштейна если

R i c = k \cdot g

для некоторой постоянной $k$ , где $R i c$ обозначает Риччи тензор а $g$ — метрический тензор.

В случае $k = 0$ такое многообразие также называется Риччи-плоским.
Уравнение Эйнштейна с космологической постоянной $Λ$ выглядит следующим образом
$R_{a b} - \frac{1}{2} \cdot g_{a b} \cdot R + g_{a b} \cdot Λ = 8 \cdot π \cdot T_{a b},$

T_{a b}

равен нулю. Поэтому уравнение сводится к

R_{a b} - \frac{1}{2} \cdot g_{a b} \cdot R + g_{a b} \cdot Λ = 0,

которое можно переписать как

R_{a b} = \frac{2 \cdot Λ}{n - 2} \cdot g_{a b} .

То есть для космологической константы

Λ

имеем

k = \frac{2 \cdot Λ}{n - 2}

.

Любоe многообразие постоянной секционной кривизны; в частности:
- Евклидово пространство, является плоским и значит Риччи-плоским и в частности многообразием Эйнштейна.
- Единичная сфера, $𝕊^{n}$ эйнштейновская с $k = n - 1$ .
- Пространство Лобачевского эйнштейновское с отрицательным $k$ .
Комплексные проективные пространства, $ℂ P^{n}$ с Шаблон:Iw.
Пространство Калаби — Яу Риччи-плоские и в частности является многообразием Эйнштейна.

Шаблон:Iw — необходимое топологическое условие для существования метрики Эйнштейна на замкнутом, ориентированном, четырёх-мерном многообразии.