Эрмитово сопряжённая матрица

Эрми́тово сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица $A^{\ast }$ с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы $A$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряжённым ему.

Например, если:

$A=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2-2i& i\end{array}\right]$

то:

$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}3-i& 2+2i\\ 5& -i\end{array}\right]$.

Эрмитово сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.

Определения и обозначения

Если исходная матрица $A$ имеет размер $m\times n$, то эрмитово сопряжённая к $A$ матрица $A^{\ast }$ будет иметь размер $n\times m$, а её $(i,j)$-й элемент будет равен:

${\left(A^{\ast }\right)}_{ij}=\overline{A_{ji}}$,

где $\bar{z}$ обозначает комплексно сопряжённое число к $z$ (сопряжённое число к $a+bi$ есть $a-bi$, где $a$ и $b$ — вещественные числа).

Другая запись определения:

$A^{\ast }={\left(\bar{A}\right)}^{\text{T}}=\overline{A^{\text{T}}}$.

Эрмитово сопряжённую матрицу обычно обозначают как $A^{\ast }$ или $A^H$ (от Шаблон:Lang-en — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности, $A^{†}$ (в квантовой механике) и $A^{+}$ (но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).

Если матрица $A$ состоит из вещественных чисел, то эрмитово сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица $A^{\ast }=A^T$, если $a_{ij}\in ℝ$.

Для квадратных матриц существует набор связанных определений — $A$ называется:

• эрмитовой, если $A^{\ast }=A$;
• антиэрмитовой или косоэрмитовой, если $A^{\ast }=-A$;
• нормальной, если $A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$;
• унитарной, если $A^{\ast }A=A{A}^{\ast }=I$, где $I$ — единичная матрица.

Свойства антиэрмитовых, нормальных и унитарных матриц могут быть выражены через свойства эрмитовых матриц и наоборот.

Свойства

Взаимодействия с операциями матричной алгебры:

• $(A+B{)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast }$ для любых двух матриц $A$ и $B$ одинаковых размеров;
• $(cA{)}^{\ast }=\bar{c}{A}^{\ast }$ для любого комплексного скаляра $c\in ℂ$;
• $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$ для любых матриц $A$ и $B$, таких, что определено их произведение $AB$ (в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный);
• $(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$ для любой матрицы $A$.

Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.

Матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица $A^{\ast }$; при этом:

$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }$

$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{\ast }y⟩$

для любой матрицы $A$ размера $m\times n$ и любых векторов $x\in {ℂ}^n$ и $y\in {ℂ}^m$. Обозначение $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.

Матрицы $A{A}^{\ast }$ и $A^{\ast }A$ являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы $A$ (необязательно квадратной). Если $A$ квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld