Конхоида

Две ветви конхоиды окружности с общим центром

Конхо́ида криво́й (Шаблон:Lang-en, от др.-греч. κονχοειδής — похожий на раковину) — плоская кривая, геометрическое место преобразованных концов — конхоид — радиус-векторов каждой точки исходной плоской кривой, причём эти радиус-векторы увеличены (одна ветвь конхоиды) или уменьшены (другая ветвь конхоиды) на постоянную величину $l$. Если уравнение исходной кривой в полярной системе координат $r(\phi )=f(\phi )$, то уравнение её конхоиды $r(\phi )=f(\phi )+l$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат $(0,0)$), а постоянная величина приращения радим-вектора $l$ — модулем конхоидыШаблон:Sfn.

Для получения новых плоских кривых — конхоид из старых — директрисШаблон:Sfn, или базисовШаблон:Sfn, используется конхоидное преобразование, при этом уравнение конхоиды могут записать в виде

$r^{\prime }=r\pm l,$ $l>0,$ $\phi =\phi .$

Говорят о двух ветвях конхоиды, соответствующихШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• либо прибавлению и вычитанию $l$ — положительной константы:
• либо прибавлению этой константы в противоположных направлениях.

Конхоидальный циркуль

Построение конхоиды Никомеда

Для вычерчивания конхоиды Никомеда служит прибор конхоидограф, или конхоидальный циркульШаблон:Sfn.

Конхоидальные циркули бывают разных конструкций. Опишем устройство конхоидографа, показанного на рисунке справа. Основанием конхоидального циркуля служит прямоугольный планшет. Горизонтально посередине планшета укреплена вытянутая рамка, которая служит директрисой коноиды Никомеда — прямой. В середине этой рамки находится муфта, свободно движущаяся вдоль рамки и снабжённая стерженьком. Под серединой рамки на другом стерженьке закреплена другая муфта, в которую вставлена рейка. Поэтому рейка может вращаться вокруг стерженька своей муфты и двигаться вдоль этой муфты. На другом конце рейки закреплено чертящее остриё, а на расстоянии $l$ от этого конца — шайбочка, при помощи которой рейка надевается на стерженёк муфты рамки. При вращении рейки и движении её вдоль второй муфты чертящее остриё нарисует верхнюю вервь конхоиды НикомедаШаблон:Sfn.

Примеры

• Конхоида прямой — конхоида НикомедаШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Конхоида окружности — конхоида окружностиШаблон:Sfn.
• Конхоида окружности с полюсом на окружности — улитка ПаскаляШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Конхоида спирали Ферма — параболическая спиральШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Конхоида розы — двойная линияШаблон:Sfn.
• Конхоида архимедовой спирали — неоидаШаблон:Sfn.
• Конхоида гиперболической спирали — конхоида гиперболической спиралиШаблон:Sfn.
• Конхоида строфоиды с полюсом на вершине петли — строфоидаШаблон:Sfn.
• Конхоида Архимедовой спирали с полюсом в её центре — Архимедова спираль, изометрическая исходнойШаблон:Sfn.
• Конхоида коники с полюсом в фокусе — кривая ЕржабекаШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H