Конхоидное преобразование

Конхоидное преобразование

Конхо́идное преобразова́ние (Шаблон:Lang-en, от др.-греч. κονχοειδής — похожий на раковину) — точечное преобразование плоскости, переводящее точку в конхоиду — точку, радиус-вектор которой увеличен или уменьшен на постоянную величину относительно радиус-вектора исходной точкиШаблон:Sfn.

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос с фиксированным направлением.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Уравнения конхоидного преобразования

Если координаты исходной точки в полярной системе координат $(r,\phi ),$ то координаты преобразованной $(r+l,\phi ),$ то есть уравнение конхоидного преобразования имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху в начале статьи)Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

$r^{\prime }=r+l,$ ${\phi }^{\prime }=\phi .$

Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат $(0,0)$), а постоянная величина приращения радим-вектора $l$ — модулем конхоидыШаблон:Sfn. Направление радиус-вектора называется направлением конхоиды.

Конхоидные преобразования $r^{\prime }=r+l$ с фиксированным полюсом и направлением образуют:

• точки вещественной прямой $ℝ$ с координатами $l$;
• абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов $ℝ$, то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразованияШаблон:Sfn:

• композиция двух конхоидных преобразований есть конхоидное преобразование:

$r^{″}\circ r^{\prime }=(r+l^{″})\circ (r+l^{\prime })=(r+l^{\prime })+l^{″}=$

$=r+(l^{\prime }+l^{″})=r+l^{‴};$

• преобразование, обратное конхоидному преобразованию $r=r+l$, есть конхоидное преобразование $r^{-1}=r-l$:

$(r-l)\circ (r+l)=(r+l)-l=r.$

Конхоидные преобразования $r^{\prime }=r+l$ только с фиксированным полюсом образуют точки проективно-вещественной плоскости $\mathbb{P}\times ℝ$ с координатами $((r\cos \phi ,r\sin \phi );l)$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования с фиксированными полюсом и разными направлениями не образуют композиции.

На комплексной плоскости уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху)Шаблон:Sfn:

$z^{\prime }=z+l\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}}=z+l\frac{z}{|z|}=z+l{e}^{i\phi },$

где $e^{i\phi }$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса $(0,0)$ к произвольной точке плоскости $z=x+iy;$ $\cos \phi =\frac{x}{|z|};$ $\sin \phi =\frac{y}{|z|}.$

Обычное уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат произвольной точки декартовой плоскости имеет следующий вид:

$a^{\prime }=a+l\frac{a}{|a|}=a+le,$

где $e$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства $a$ (см. рисунок справа вверху).

На декартовой плоскости конхоидное преобразование с полюсом в начале координат имеет следующий параметрический вид как декартовых координат конхоиды $r^{\prime }=r+l$ (см. рисунок справа вверху)Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x=x(t)(1+\frac{l}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}),$

$y=y(t)(1+\frac{l}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}),$

а с произвольным полюсом $(x_0,y_0)$ — более сложный параметрический видШаблон:Sfn:

$x=x(t)+\left(\frac{l(x(t)-x_0)}{\sqrt{(x(t)-x_0{)}^2+(y(t)-y_0{)}^2}}\right),$

$y=y(t)+\left(\frac{l(y(t)-y_0)}{\sqrt{(x(t)-x_0{)}^2+(y(t)-y_0{)}^2}}\right),$

Конхоидное преобразование кривых

Конхоидное преобразование используется для образования новых плоских кривых — конхоид из исходных — директрисШаблон:Sfn, или базисовШаблон:Sfn. В этом случае его уравнение могут записать в виде

$r(\phi )=f(\phi )\pm l,$ $l>0,$

где $r(\phi )=f(\phi )$ — уравнение директрисы. и говорить о $2m$ ветвях конхоиды, которые соответствуют прибавлению и вычитанию положительной константы $l$ к координатам $f(\phi ),$ соответствующим $m$ точкам — максимальному количеству точек пересечения директрисы с произвольной прямой $\phi ={\phi }_0$. Обычно рассматривают случаи с $m=1$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Например, конхоида Никомеда как конхоида прямой и улитка Паскаля как конхоида окружности с полюсом на окружности относятся к случаю $m=1,$ а конхоида конхоиды — вторая конхоида — и конхоида окружности, когда полюс не лежит на окружности — к случаю $m=2.$

При $l=0$ конхоида совпадает со своей директрисой, а при $l\to \mathrm{\infty }$ — с бесконечно удалёнными точками на окружности бесконечного радиуса.

При $f({\phi }_0)=0$ угол ${\phi }_0$ выбирается по непрерывности конхоиды.

Конхоиды $r=f+l$ с фиксированным полюсом, аналогично точечным конхоидным преобразованиям, образуют (если ветвей несколько, то берётся нужная):

• точки вещественной прямой $ℝ$ с координатами $l$;
• коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов $ℝ$, то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразованияШаблон:Sfn:

Когда обе ветви конхоиды совпадают, то есть совпадают кривые

$r(\phi )=f(\phi )+l,$ $r(\phi )=f(\phi )-l,$ $l>0,$

директриса $f(\phi )$ называется минимальной конхоидой, поскольку любая конхоида с этой первоначальной директрисой не может быть «меньше» минимальной конхоиды: для любой первой конхоиды минимальной директрисы

$r(\phi )=f(\phi )\pm l,$ $l>0$

две из четырёх ветвей второй конхоиды (с первой конхоидой как директрисой)

$r(\phi )=(f(\phi )\pm l)\mp 2l,$ $l>0$

совпадают друг с другом и с исходной первой конхоидой.

Например, минимальная конхоида — базовая окружность улитки Паскаля.

Общее конхоидное преобразование

Общее конхоидное преобразование

В общем случае полюс конхоидного преобразования может быть произвольным, то есть уравнение конхоидного преобразования на комплексной плоскости имеет следующий вид (см. рисунок справа):

$z^{\prime }=z+l\sqrt{\frac{z-z_0}{\overline{z-z_0}}}=$

$=z+l\frac{z-z_0}{|z-z_0|}=$

$=z+l{e}^{i\phi },$

где $z_0=x_0+i{y}_0$ — полюс; $l$ — модуль; $e^{i\phi }$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке плоскости $z=x+iy;$ $\cos \phi =\frac{x-x_0}{|z-z_0|};$ $\sin \phi =\frac{y-y_0}{|z-z_0|}.$

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования $z^{\prime }=z+l{e}^{i\phi }$ и $z^{″}=z^{\prime }+l^{\prime }{e}^{i{\phi }^{\prime }},$ действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

$l=l^{\prime },$ $e^{i\phi }=e^{i{\phi }^{\prime }},$ $z,z^{\prime },z^{″}$ коллинеарны.

Конхоидные преобразования $z^{\prime }=z+l{e}^{i\phi }$, действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют:

• точки вещественной прямой $ℝ$ с координатами $l$;
• абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов $ℝ$, то есть группе сложения вещественных чисел.

Два произвольных конхоидных преобразования $z^{\prime }=z+l{e}^{i\phi }$ и $z^{″}=z^{\prime }+l^{\prime }{e}^{i{\phi }^{\prime }}$ эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

$l=l^{\prime },$ $e^{i\phi }=e^{i{\phi }^{\prime }}.$

Конхоидные преобразования $z^{\prime }=z+l{e}^{i\phi }$ одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки вещественной плоскости ${ℝ}^2$ с координатами $(x+y,l)$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование $z^{-1}=z-l{e}^{i\phi }:$

$z-l{e}^{i\phi }\circ z+l{e}^{i\phi }=z+l{e}^{i\phi }-l{e}^{i\phi }=z,$

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма комплексных чисел есть снова комплексное число:

$z^{″}\circ z^{\prime }=z^{\prime }+l^{\prime }{e}^{i{\phi }^{\prime }}\circ z+l{e}^{i\phi }=z+l{e}^{i\phi }+l^{\prime }{e}^{i{\phi }^{\prime }}=$

$=z+l^{″}{e}^{i{\phi }^{″}}=z+l^{″}\frac{z-z^{\prime }{\text{'}}_0}{|z-z^{\prime }{\text{'}}_0|},$

другими словами, конхоидные преобразования $z^{\prime }=z+l{e}^{i\phi }$ с точностью до эквивалентных преобразований образуют коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов ${ℝ}^2$, то есть группе сложения радиус-векторов плоскости, поскольку выполняются эти два групповые свойстваШаблон:Sfn.

Конхоидное преобразование в многомерном пространстве

Уравнение общего конхоидного преобразования произвольной точки [[Прямоугольная система координат#Прямоугольная система координат в многомерном пространстве|Шаблон:S декартового пространства]] имеет следующий вид:

$a^{\prime }=a+l\frac{a-a_0}{|a-a_0|}=a+le,$

где $a_0=(a_{01},a_{02},\dots ,a_{0n})$ — полюс; $l$ — модуль; $e=(e_1,e_2,\dots ,e_n)$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства $a=(a_1,a_2,\dots ,a_n).$

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования $a^{\prime }=a+le$ и $a^{″}=a^{\prime }+l^{\prime }e,$ действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

$l=l^{\prime },$ $e=e^{\prime },$ $a,a^{\prime },a^{″}$ коллинеарны.

Конхоидные преобразования $a^{\prime }=a+le$, действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют:

• точки вещественной прямой $ℝ$ с координатами $l$;
• абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов $ℝ$, то есть группе сложения вещественных чисел.

Два конхоидных преобразования $a^{\prime }=a+le$ и $a^{″}=a^{\prime }+l{e}^{\prime }$ эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

$l=l^{\prime },$ $e=e^{\prime }.$

Конхоидные преобразования $a^{\prime }=a+le$ одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки Шаблон:S вещественного пространства ${ℝ}^n$ с координатами

$(a_1+a_2,a_2+a_3,\dots ,a_{n-1}+a_n,l)$

и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование $a^{-1}=a-le:$

$a-le\circ z+le=a+le-le=a,$

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма радиус-векторов есть снова радиус-вектор:

$a^{‴}=a^{″}\circ a^{\prime }=a^{\prime }+l^{\prime }{e}^{\prime }\circ a+le=a+le+l^{\prime }{e}^{\prime }=$

$=a+l^{″}{e}^{″}=a+l^{″}\frac{a-a^{\prime }{\text{'}}_0}{|a-a^{\prime }{\text{'}}_0|},$

другими словами, конхоидное преобразование $a^{\prime }=a+le$ с точностью до эквивалентных преобразований образует коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов ${ℝ}^n$, то есть группе сложения радиус-векторов пространства, поскольку выполняются эти два групповые свойстваШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H