Топологическая K-теория

В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху.

Определения

Пусть Шаблон:Mvar — компактное хаусдорфово пространство и $k=ℝ$ или $ℂ$. Тогда $K_k(X)$ определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных $k$-векторных расслоений над Шаблон:Mvar с суммой Уитни. Тензорное произведение расслоений задаёт на K-теории структуру коммутативного кольца. Без индекса, $K(X)$ обычно обозначает комплексную Шаблон:Mvar-теорию, тогда как вещественная Шаблон:Mvar-теория иногда обозначается как $KO(X)$. Далее мы рассматриваем комплексную Шаблон:Mvar-теорию.

В качестве начального примера заметим, что Шаблон:Mvar-теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа.

Существует редуцированная версия Шаблон:Mvar теории, $\tilde{K}(X)$,которая определяется для Шаблон:Mvar — компактных пространств с выделенной точкой (ср. приведенные гомологии ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как Шаблон:Math по модулю тривиальных расслоений. Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения ${\epsilon }_1$и ${\epsilon }_2$, такие что $E\oplus {\epsilon }_1\cong F\oplus {\epsilon }_2$ , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , $\tilde{K}(X)$ можно определить как ядро отображения $K(X)\to K(x_0)\cong \mathbb{Z}$ индуцируемого вложением базовой точки Шаблон:Math в Шаблон:Mvar.

Шаблон:Mvar-теория является мультипликативной (обобщенной) когомологической теорией. Короткая точная последовательность пространств с выделенной точкой Шаблон:Math

$\tilde{K}(X/A)\to \tilde{K}(X)\to \tilde{K}(A)$

Продолжается до длинной точной последовательности

$\cdots \to \tilde{K}(SX)\to \tilde{K}(SA)\to \tilde{K}(X/A)\to \tilde{K}(X)\to \tilde{K}(A).$

Пусть Шаблон:Math будет Шаблон:Mvar-ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим:

${\tilde{K}}^{-n}(X):=\tilde{K}(S^{n}X),n\ge 0.$

Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность.

Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как:

$K^{-n}(X)={\tilde{K}}^{-n}(X_{+}).$

Где $X_{+}$ это $X$ с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+».

Наконец, теорема Ботта о периодичности, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами.

Свойства

• Шаблон:Math и, соответственно ${\tilde{K}}^n$ являются контравариантными функторами из гомотопической категории пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например, Шаблон:Mvar-теория над стягиваемыми пространствами это $\mathbb{Z}.$

• Спектром Шаблон:Mvar-теории является $BU\times \mathbb{Z}$ (с дискретной топологией на $\mathbb{Z}$ ), т.е. $K(X)\cong [X^{+},\mathbb{Z}\times BU],$ где Шаблон:Math обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а Шаблон:Math - копредел классифицирующих пространств унитарных групп: $BU(n)\cong \mathrm{Gr}(n,{ℂ}^{\mathrm{\infty }}).$ Аналогично,

$\tilde{K}(X)\cong [X,\mathbb{Z}\times BU].$

Для вещественной Шаблон:Mvar теории используется пространство Шаблон:Math .

• Аналогом операций Стинрода в Шаблон:Mvar-теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической Шаблон:Mvar-теории.

• Принцип расщепления в топологической Шаблон:Mvar-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений.

• Изоморфизм Тома в топологической Шаблон:Mvar теории это:

$K(X)\cong \tilde{K}(T(E)),$

где Шаблон:Math - пространство Тома векторного расслоения Шаблон:Mvar над Шаблон:Mvar. Это выполняется когда Шаблон:Mvar является спинарным расслоением.

• Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислять Шаблон:Mvar-группы из обычных групп когомологий.

• Топологическую Шаблон:Mvar-теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах.

Периодичность Ботта

Периодичность, названную в честь Рауля Ботта, можно сформулировать так:

• $K(X\times {𝕊}^2)=K(X)\otimes K({𝕊}^2),$ и $K({𝕊}^2)=\mathbb{Z}[H]/(H-1{)}^2$, где H - класс тавтологического расслоения на ${𝕊}^2={\mathbb{P}}^1(ℂ),$ то есть на сфере Римана.

• ${\tilde{K}}^{n+2}(X)={\tilde{K}}^n(X).$

• ${\mathrm{\Omega }}^{2}BU\cong BU\times \mathbb{Z}.$

В вещественной Шаблон:Mvar теории существует похожая периодичность, только по модулю 8.

Приложения

Два самых известных применения топологической Шаблон:Mvar-теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа, сделав вычисления с помощью операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах.

Характер Чженя

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса $X$ с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

$ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb{Q}\to H^{*}(X;\mathbb{Q})$

такой, что

$\begin{array}{cc}{K}_{\text{top}}^0(X)\otimes \mathbb{Q}& \cong \underset{k}{⨁}{H}^{2k}(X;\mathbb{Q})\\ K_{\text{top}}^1(X)\otimes \mathbb{Q}& \cong \underset{k}{⨁}{H}^{2k+1}(X;\mathbb{Q})\end{array}$

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия $X$.

См. также

• Теорема Атьи-Зингера об индексе

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite arXiv