Тепловая длина волны

В физике тепловая длина волны де Бройля или термическая длина волны (${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}$, иногда также обозначаемый $\mathrm{\Lambda }$) — это примерно средняя длина волны де Бройля частиц в идеальном газе при указанной температуре. Мы можем оценить среднее расстояние между частицами в газе равным Шаблон:Math, где Шаблон:Mvar — объём, а Шаблон:Mvar — количество частиц. Когда тепловая длина волны де Бройля намного меньше расстояния между частицами, то газ можно считать классическим газом или газом Максвелла — Больцмана. С другой стороны, когда тепловая длина волны де Бройля порядка или превышает расстояние между частицами, квантовые эффекты будут доминировать, и газ следует рассматривать как ферми-газ или бозе-газ, в зависимости от природы частиц газа. Критическая температура является точкой перехода между этими двумя режимами, и при этой критической температуре тепловая длина волны будет примерно равна расстоянию между частицами. То есть квантовая природа газа будет очевидна для$$\frac{V}{N{\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}^3}\le 1\mathrm{o}\mathrm{r}{\left(\frac{V}{N}\right)}^{1/3}\le {\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}},$$то есть когда расстояние между частицами меньше тепловой длины волны де Бройля; в этом случае газ будет подчиняться статистике Бозе — Эйнштейна или статистике Ферми — Дирака. Это, например, имеет место для электронов в типичном металле при T = 300 К, где электронный газ подчиняется статистике Ферми — Дирака, или в конденсате Бозе — Эйнштейна. С другой стороны, для$$\frac{V}{N{\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}^3}\gg 1\mathrm{o}\mathrm{r}{\left(\frac{V}{N}\right)}^{1/3}\gg {\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}},$$то есть когда расстояние между частицами намного больше тепловой длины волны де Бройля, газ будет подчиняться статистике Максвелла — Больцмана. Так обстоит дело с молекулярными или атомарными газами при комнатной температуре, а также с тепловыми нейтронами, производимыми источником нейтронов.

Массивные частицы

Для массивных невзаимодействующих частиц тепловая длина волны де Бройля может быть получена путем расчёта статистической суммы. Предполагая одномерный ящик длиной Шаблон:Mvar, статистическая сумма (с использованием энергетических состояний одномерной частицы в ящике) равна$$Z=\sum _n{e}^{-E_n/k_{\mathrm{B}}T}=\sum _n{e}^{-h^2{n}^2/8m{L}^2{k}_{\mathrm{B}}T}.$$Поскольку уровни энергии расположены очень близко друг к другу, можно аппроксимировать эту сумму интегралом$$Z=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-h^2{n}^2/8m{L}^2{k}_{\mathrm{B}}T}dn=\sqrt{\frac{2\pi m{k}_{\mathrm{B}}T}{h^2}}L\equiv \frac{L}{{\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}}.$$Следовательно,$${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi m{k}_{\mathrm{B}}T}},$$где $h$ — постоянная Планка, Шаблон:Mvar — масса частицы газа, $k_{\mathrm{B}}$ — постоянная Больцмана, Шаблон:Mvar — температура газа. Это также можно выразить с помощью приведённой постоянной Планка $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ как$${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\sqrt{\frac{2\pi {\hslash }^2}{m{k}_{\mathrm{B}}T}}.$$

Безмассовые частицы

Для безмассовых (или высокорелятивистских) частиц тепловая длина волны определяется как$${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\frac{hc}{2{\pi }^{1/3}{k}_{\mathrm{B}}T}=\frac{{\pi }^{2/3}\hslash c}{k_{\mathrm{B}}T},$$где с — скорость света. Как и тепловая длина волны массивных частиц, она порядка средней длины волны частиц в газе и определяет критическую точку, в которой квантовые эффекты начинают доминировать. Например, при наблюдении длинноволнового спектра излучения абсолютно чёрного тела можно применить классический закон Рэлея — Джинса, но когда наблюдаемые длины волн приближаются к тепловой длине волны фотонов в излучателе абсолютно чёрного тела, необходимо использовать квантовый закон Планка.

Общее определение

Можно ввести общее определение тепловой длины волны для идеального газа, состоящего из частиц, имеющих произвольную степенную зависимость между энергией и импульсом (дисперсионное соотношение) в любом количестве измерений. Если Шаблон:Mvar — количество измерений и связь между энергией (Шаблон:Mvar) и импульс (Шаблон:Mvar) определяется степенным законом$$E=a{p}^s,$$где Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar являются постоянными, то тепловая длина волны определяется как$${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\frac{h}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{a}{k_{\mathrm{B}}T}\right)}^{1/s}{\left[\frac{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}{\mathrm{\Gamma }(n/s+1)}\right]}^{1/n},$$где Шаблон:Math — гамма-функция. В частности, для трёхмерного (Шаблон:Math) газа массивных или безмассовых частиц имеем Шаблон:Math и Шаблон:Math соответственно, что даёт выражения, перечисленные в предыдущих разделах. Для массивных нерелятивистских частиц (s = 2) выражение не зависит от n. Это объясняет, почему приведённый выше вывод 1D согласуется со случаем 3D.

Примеры

Некоторые примеры тепловой длины волны де Бройля 298 К приведены ниже.

Разновидность	Масса (кг)	${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}$ (м)
Электрон	Шаблон:Val	Шаблон:Val
Фотон	0	Шаблон:Val
Ч 2	Шаблон:Val	Шаблон:Val
О 2	Шаблон:Val	Шаблон:Val