Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой $p$-й степенью.

Формулировка

Пусть $(X,ℱ,\mu )$ — пространство с мерой, и функции $f,g\in L^p(X,ℱ,\mu )$, то есть $\underset{X}{\int }|f{|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty },\underset{X}{\int }|g{|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty }$, где $p\ge 1$, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда $f+g\in L^p(X,ℱ,\mu )$, и более того:

${(\underset{X}{\int }|f(x)+g(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}\le {(\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}+{(\underset{X}{\int }|g(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}.$

Доказательство

Сначала докажем, что

$f,g\in L^p(E)\Rightarrow |f+g{|}^p$ суммируема на $E$.

Введём множества: $E_1=E[|f|\ge |g|]E_2=E[|f|<|g|]$.

$\underset{E_1}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu \le \underset{E_1}{\int }(|f|+|g|{)}^{p}d\mu \le 2^p\underset{E_1}{\int }|f{|}^{p}d\mu .$
$\underset{E_2}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu \le \underset{E_2}{\int }(|f|+|g|{)}^{p}d\mu \le 2^p\underset{E_2}{\int }|g{|}^{p}d\mu .$

$\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu =\underset{E_1}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu +\underset{E_2}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu \le 2^p\underset{E_1}{\int }|f{|}^{p}d\mu +2^p\underset{E_2}{\int }|g{|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty }.$

Перейдём к доказательству неравенства Минковского:

$\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu =\underset{E}{\int }|f+g||f+g{|}^{p-1}d\mu \le \underset{E}{\int }|f||f+g{|}^{p-1}d\mu +\underset{E}{\int }|g||f+g{|}^{p-1}d\mu ;$

$|f|\in L^p,|f+g{|}^{p-1}=|f+g{|}^{p/q}\in L^q\Rightarrow$ можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

$\underset{E}{\int }|f||f+g{|}^{p-1}d\mu \le {(\underset{E}{\int }|f{|}^{p}d\mu )}^{1/p}{(\underset{E}{\int }|f+g{|}^{(p-1)q}d\mu )}^{1/q}={(\underset{E}{\int }|f{|}^{p}d\mu )}^{1/p}{(\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu )}^{1-1/p},$
$\underset{E}{\int }|g||f+g{|}^{p-1}d\mu \le {(\underset{E}{\int }|g{|}^{p}d\mu )}^{1/p}{(\underset{E}{\int }|f+g{|}^{(p-1)q}d\mu )}^{1/q}={(\underset{E}{\int }|g{|}^{p}d\mu )}^{1/p}{(\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu )}^{1-1/p}.$

Таким образом:

$\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu \le {(\underset{E}{\int }|f{|}^{p}d\mu )}^{1/p}{(\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu )}^{1-1/p}+{(\underset{E}{\int }|g{|}^{p}d\mu )}^{1/p}{(\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu )}^{1-1/p}.$

Делим левую и правую части на ${(\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu )}^{1-1/p}$.

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда ${(\underset{E}{\int }|f+g{|}^{p}d\mu )}^{1-1/p}=0$ неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве $L^p(X,ℱ,\mu )$ можно ввести норму:

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p},$

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E={ℝ}^n$ или ${ℂ}^n$. $L^p$-норма в этом пространстве имеет вид:

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p},x=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{\top }},$

и тогда

${(\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^p)}^{1/p},\mathrm{\forall }x,y\in E.$

Если $n=2,3$ и $p=2$, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство l^p

Пусть $X=\mathbb{N},ℱ=2^{\mathbb{N}},m$ — счётная мера на $\mathbb{N}$. Тогда множество всех последовательностей $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, таких что

$\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p{)}^{1/p}<\mathrm{\infty },$

называется $l^p$. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

${(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n+y_n{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|y_n{|}^p)}^{1/p},\mathrm{\forall }x,y\in l^p.$

Вероятностное пространство

Пусть $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Тогда $L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ состоит из случайных величин с конечным $p$-м моментом: $𝔼[|X{|}^p]<\mathrm{\infty }$, где символ $𝔼$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

${(𝔼|X+Y{|}^p)}^{1/p}\le {(𝔼|X{|}^p)}^{1/p}+{(𝔼|Y{|}^p)}^{1/p}.$

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Пространство Lp
• Минковский, Герман
• Неравенство Гёльдера