Биномиальное распределение

Шаблон:Вероятностное распределение Биномиа́льное распределе́ние с параметрами $n$ и $p$ в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $n$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $p$.

Определение

Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром $p$, то есть при каждом $i=1,\dots ,n$ величина $X_i$ принимает значения $1$ («успех») и $0$ («неудача») с вероятностями $p$ и $q=1-p$ соответственно. Тогда случайная величина

$Y=X_1+X_2+\dots +X_n$

имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$. Это записывается в виде:

$Y\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,p)$.

Случайную величину $Y$ обычно интерпретируют как число успехов в серии из $n$ одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$ в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

$p_Y(k)\equiv \mathbb{P}(Y=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k},k=0,\dots ,n,$

где

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

$F_Y(y)\equiv \mathbb{P}(Y⩽y)=\sum _{k=0}^{\lfloor y\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k},y\in ℝ$,

где $\lfloor y\rfloor$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее число $y$, или в виде неполной бета-функции:

$F_Y(y)\equiv \mathbb{P}(Y⩽y)=I_{1-p}(n-\lfloor y\rfloor ,\lfloor y\rfloor +1)$.

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t)={(p{e}^t+q)}^n$,

откуда

$𝔼[Y]=np$,

$𝔼\left[Y^2\right]=np(q+np)$,

а дисперсия случайной величины.

$𝔻[Y]=npq$.

Пример биноминального распределения

Свойства биномиального распределения

• Пусть $Y_1\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,p)$ и $Y_2\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,1-p)$. Тогда $p_{Y_1}(k)=p_{Y_2}(n-k)$.
• Пусть $Y_1\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n_1,p)$ и $Y_2\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n_2,p)$. Тогда $Y_1+Y_2\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n_1+n_2,p)$.

Связь с другими распределениями

• Если $n=1$, то получаем распределение Бернулли.
• Если $n$ большое, то в силу центральной предельной теоремы $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,p)\approx N(np,npq)$, где $N(np,npq)$ — нормальное распределение с математическим ожиданием $np$ и дисперсией $npq$.
• Если $n$ большое, а $\lambda$ — фиксированное число, то $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,\lambda /n)\approx \mathrm{P}(\lambda )$, где $\mathrm{P}(\lambda )$ — распределение Пуассона с параметром $\lambda$.
• Если случайные величины $X$ и $Y$ имеют биномиальные распределения $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(D,p)$ и $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(N-D,p)$ соответственно, то условное распределение случайной величины $X$ при условии $X+Y=n$ – гипергеометрическое $\mathrm{H}\mathrm{G}(D,N,n)$.

См. также

• Треугольник Паскаля
• Локальная теорема Муавра — Лапласа