Распределение Коши

Шаблон:Вероятностное распределение Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йта — Ви́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью $f_X(x)$, имеющей вид:

$f_X(x)=\frac{1}{\pi \gamma [1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2]}=\frac{1}{\pi }\left[\frac{\gamma }{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\right]$,

где

• $x_0\in ℝ$ — параметр сдвига;
• $\gamma >0$ — параметр масштаба.

Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Коши и пишут $X\sim \mathrm{C}(x_0,\gamma )$. Если $x_0=0$ и $\gamma =1$, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения

Функция распределения Коши имеет вид:

$F_X(x)=\frac{1}{\pi }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)+\frac{1}{2}$.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

$F_X^{-1}(x)=x_0+\gamma \mathrm{t}\mathrm{g}\left[\pi (x-\frac{1}{2})\right].$

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты

Так как интеграл Лебега

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha }{f}_X(x)dx$

не определён для $\alpha ⩾1$, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{c\to \mathrm{\infty }}\underset{-c}{\overset{c}{\int }}x\cdot \frac{1}{\pi }\left[\frac{\gamma }{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\right]dx=x_0$ ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства

• Распределение Коши бесконечно делимо.
• Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если $X_1,\dots ,X_n\sim \mathrm{C}(0,1)$, то

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{C}(0,1)$

Связь с другими распределениями

• Если $U\sim U[0,1]$, то

$x_0+\gamma \mathrm{t}\mathrm{g}\left[\pi (U-\frac{1}{2})\right]\sim \mathrm{C}(x_0,\gamma )$.

• Если $X_1,X_2$ — независимые нормальные случайные величины, такие что $X_i\sim \mathrm{N}(0,1),i=1,2$, то

$\frac{X_1}{X_2}\sim \mathrm{C}(0,1)$.

• Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

$\mathrm{C}(0,1)\equiv \mathrm{t}(1)$.

Появление в практических задачах

• Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости). По сути это означает следующее:

Если $U\sim U[0,1]$, то $\pi (U-\frac{1}{2})\sim$ $U$(−$\pi /2,\pi /2$), поэтому $\mathrm{t}\mathrm{g}\left[\pi (U-\frac{1}{2})\right]\sim \mathrm{C}(0,1)$. В силу периодичности тангенса равномерность на интервале (−π/2; π/2) одновременно означает равномерность на интервале (−π; π).

• В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
• Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.