Распределение Вейбулла

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью $f_X(x)$, имеющей вид:

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^k},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}.$

Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Вейбулла. Пишут: $X\sim \mathrm{W}(k,\lambda )$.

Если величину Шаблон:Math принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда:

• Шаблон:Math < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
• Шаблон:Math = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
• Шаблон:Math > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем

В материаловедении коэффициент Шаблон:Math известен как модуль Вейбулла.

Свойства

Функция плотности

Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < Шаблон:Math < 1 плотность стремится к бесконечности при $x\to 0+$ и строго убывает. Для Шаблон:Math = 1 плотность стремится к Шаблон:Math при $x\to 0+$ и строго убывает. Для Шаблон:Math > 1 плотность стремится к 0 при $x\to 0+$, возрастает до достижения своей моды и убывает после. Плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в Шаблон:Math = 0 при 0 < Шаблон:Math < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в Шаблон:Math = 0 при 1 < Шаблон:Math < 2, и нулевой угловой коэффициент в Шаблон:Math = 0 при Шаблон:Math > 2. При Шаблон:Math = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в Шаблон:Math = 0. При $k\to \mathrm{\infty }$ распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в Шаблон:Math = Шаблон:Math. Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.

Функция распределения

Функция распределения Вейбулла:

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda {)}^k}$

при Шаблон:Math ≥ 0, и Шаблон:Math = 0 при Шаблон:Math < 0

Квантиль распределения Вейбулла:

$Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln (1-p))}^{1/k}$

при 0 ≤ Шаблон:Math < 1.

Интенсивность отказов Шаблон:Math:

$h(x;k,\lambda )=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}.$

Моменты

Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла

$𝔼\left[e^{t\log X}\right]={\lambda }^t\mathrm{\Gamma }(\frac{t}{k}+1),$

где Шаблон:Math — это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма Шаблон:Math задаётся

$𝔼\left[e^{it\log X}\right]={\lambda }^{it}\mathrm{\Gamma }(\frac{it}{k}+1).$

Моменты случайной величины $X$, имеющей распределение Вейбулла имеют вид

$𝔼\left[X^n\right]={\lambda }^n\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k})$, где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция,

откуда

$𝔼[X]=\lambda \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})$,

$\mathrm{D}[X]={\lambda }^2[\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-{\mathrm{\Gamma }}^2(1+\frac{1}{k})]$.

Коэффициент асимметрии задаётся функцией

${\gamma }_1=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{3}{k}){\lambda }^3-3\mu {\sigma }^2-{\mu }^3}{{\sigma }^3}$

Коэффициент эксцесса

${\gamma }_2=\frac{-6{\mathrm{\Gamma }}_1^4+12{\mathrm{\Gamma }}_1^2{\mathrm{\Gamma }}_2-3{\mathrm{\Gamma }}_2^2-4{\mathrm{\Gamma }}_1{\mathrm{\Gamma }}_3+{\mathrm{\Gamma }}_4}{[{\mathrm{\Gamma }}_2-{\mathrm{\Gamma }}_1^2{]}^2},$

где ${\mathrm{\Gamma }}_i=\mathrm{\Gamma }(1+i/k)$, так же может быть записан:

${\gamma }_2=\frac{{\lambda }^4\mathrm{\Gamma }(1+\frac{4}{k})-4{\gamma }_1{\sigma }^3\mu -6{\mu }^2{\sigma }^2-{\mu }^4}{{\sigma }^4}-3$

Производящая функция моментов

Существует множество выражений для производящей функции моментов самой $X$

$𝔼\left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{\lambda }^n}{n!}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k}).$

Так же можно работать непосредственно с интегралом

$𝔼\left[e^{tX}\right]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}dx.$

Если коэффициент Шаблон:Math предполагается рациональным числом, выраженным Шаблон:Math = Шаблон:Math, где Шаблон:Math и Шаблон:Math целые, то интеграл может быть вычислен аналитически. С заменой Шаблон:Math на Шаблон:Math, получается

$𝔼\left[e^{-tX}\right]=\frac{1}{{\lambda }^k{t}^k}\frac{p^k\sqrt{q/p}}{(\sqrt{2\pi }{)}^{q+p-2}}{G}_{p,q}^{q,p}\left(\begin{array}{c}\frac{1-k}{p},\frac{2-k}{p},\dots ,\frac{p-k}{p}\\ \frac{0}{q},\frac{1}{q},\dots ,\frac{q-1}{q}\end{array}|\frac{p^p}{{\left(q{\lambda }^k{t}^k\right)}^q}\right),$

где Шаблон:Math — это G-функция Мейера.

Информационная энтропия

Информационная энтропия задаётся таким образом

$H(\lambda ,k)=\gamma (1-\frac{1}{k})+\ln \left(\frac{\lambda }{k}\right)+1,$

где $\gamma$ — это Постоянная Эйлера — Маскерони.

Оценка коэффициентов

Наибольшее правдоподобие

Оценка максимального правдоподобия для коэффициента $\lambda$

${\hat{\lambda }}^k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^k$

Для $k$

${\hat{k}}^{-1}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^k\ln x_i}{\sum _{i=1}^n{x}_i^k}-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\ln x_i$

Условная функция надёжности Вейбулла

Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:

$R(t|T)=\frac{R(T+t)}{R(T)}=\frac{e^{-{\left(\frac{T+t}{\lambda }\right)}^k}}{e^{-{\left(\frac{T}{\lambda }\right)}^k}}$

или

$R(t|T)=e^{-[{\left(\frac{T+t}{\lambda }\right)}^k-{\left(\frac{T}{\lambda }\right)}^k]}$

Для 3-х параметрического:

$R(t|T)=\frac{R(T+t)}{R(T)}=\frac{e^{-{\left(\frac{T+t-\theta }{\lambda }\right)}^k}}{e^{-{\left(\frac{T-\theta }{\lambda }\right)}^k}}$

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё $t$ времени при условии, что он уже проработал $T$.

График Вейбулла

Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — $\ln (-\ln (1-\hat{F}(x)))$ и $\ln (x)$ Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде

$\begin{array}{cc}F(x)& =1-e^{-(x/\lambda {)}^k}\\ -\ln (1-F(x))& =(x/\lambda {)}^k\\ \underset{\text{'y'}}{\underbrace{\ln (-\ln (1-F(x)))}}& =\underset{\text{'mx'}}{\underbrace{k\ln x}}-\underset{\text{'c'}}{\underbrace{k\ln \lambda }}\end{array}$

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя $\hat{F}=\frac{i-0.3}{n+0.4}$, где $i$ — это ранг точки данных, а $n$ — это общее количество точек.

Использование

Распределение Вейбулла используется:

• В анализе выживаемости
• В надёжности и анализе отказов
• В электротехнике для представления перенапряжения, возникающего в электрических цепях
• В промышленной инженерии
• В теории экстремальных значений

Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей

• В прогнозировании погоды
  • Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике
• В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами помех
• В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях
• В прогнозировании технологических изменений
• В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
• В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
• Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

Связь с другими распределениями

• Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности

$f(x;k,\lambda ,\theta )=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x-\theta }{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(\frac{x-\theta }{\lambda }{)}^k}$

где $x\ge \theta$ и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где $k>0$ — коэффициент формы, $\lambda >0$ — коэффициент масштаба и $\theta$ — коэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.

• 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая $\theta =0$ и $k=C=Constant$:

$f(t)=\frac{C}{\lambda }{\left(\frac{t}{\lambda }\right)}^{C-1}{e}^{-{\left(\frac{t}{\lambda }\right)}^C}$

• Распределение Вейбулла может быть получено как функция от экспоненциального.

Если $X$ — экспоненциальное распределение $\mathrm{Exp}(\lambda )$ для параметра $\lambda$, то случайная величина $Y=X^{1/k}(k>0)$ имеет распределение Вейбулла $\mathrm{W}({\lambda }^{1/k},k)$. Для доказательства рассмотрим функцию распределения $Y$:

$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^{1/k}\le y)=P(X\le y^k)=1-e^{-\lambda \cdot y^k}=1-e^{-({\lambda }^{1/k}\cdot y{)}^k},y>0$

Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла.

• Метод обратного преобразования: если $U\sim \mathrm{U}(0,1)$, то

$\lambda {(-\ln U)}^{1/k}\sim \mathrm{W}(k,\lambda )$.

• С распределением Фреше: если $\mathrm{X}\sim \text{Weibull}(k=\alpha ,\lambda =m)$ , то $\frac{m^2}{\mathrm{X}}\sim \text{Frechet}(\alpha ,s,m)$.
• С распределением Гумбеля: если $\mathrm{X}\sim \text{Weibull}$ , то $\log (X)\sim \text{Gumbel}$.
• Распределение Рэлея — частный случай распределения Вейбулла при $k=2$ и $\lambda =\sqrt{2}\sigma$
• Распределение Вейбулла является частным случаем обобщённого распределения экстремальных значений
• Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте

функция распределения имеет вид

$f(x;P_{\mathrm{8}\mathrm{0}},m)=\{\begin{array}{cc}1-e^{ln(0.2){\left(\frac{x}{P_{\mathrm{8}\mathrm{0}}}\right)}^m}& x\ge 0,\\ 0& x<0,\end{array}$

где

$x$: Размер частицы

$P_{\mathrm{8}\mathrm{0}}$: 80-й процентиль распределения размера частиц

$m$: Коэффициент, описывающий размах распределения

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:CitationШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга
• Шаблон:H

Ссылки

• Примеры графиков функции распределения ВейбуллаШаблон:Ref-en
• Распределение ВейбуллаШаблон:Ref-en
• Weibull DistributionШаблон:Ref-en
• Построение графиков распределения Вейбулла в excelШаблон:Ref-ru