Сферическая геометрия

Сферическая геометрия

Сферический треугольник

Сферическая геометрия — геометрия на сфереШаблон:Sfn. Раздел математики, изучающий геометрические образы на сфере в трёхмерном пространстве, аналогично тому как планиметрия изучает их на двумерном пространстве плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Основные понятия этих геометрийШаблон:Sfn:

• плоской — точка плоскости, прямая на плоскости и движение плоскости;
• сферической — точка сферы, большая окружность и движение сферы.

Предмет сферической геометрии — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются при произвольных движениях сферыШаблон:Sfn.

Предмет сферической геометрии — это частный случай предмета геометрии вообщеШаблон:Sfn.

Предмет геометрии — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются при произвольных движениях фигурыШаблон:Sfn.

Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями астрономии и развилась в связи с потребностями астрономии, географии и мореплаванияШаблон:Sfn.

Основные понятия сферической геометрии

Происхождение сферической геометрии

Разные разделы геометрии имеют разное происхождениеШаблон:Sfn:

• геометрия на плоскости существенно «земного» происхождения и, как следует из самого слова «геометрия» (от Шаблон:Lang-grc ← Шаблон:Lang-grc2 «земля» + Шаблон:Lang-grc2 «мерить; оценивать», буквально «землемерие»), возникла из измерения небольших участков земли, которые можно рассматривать как плоские;
• сферическая геометрия, то есть геометрия на сфере, напротив, «небесного» происхождения, с этой геометрией человечество впервые столкнулось при изучении видимой небесной сферы в астрономии.

Сочинение «Сферика» Менелая приходится на ранний этап возникновения и развития сферической геометрии в древности. Результаты, описанные в этой книге, были сразу применены Клавдием Птолемеем в астрономии. В дальнейшем, с развитием естественных наук (география) и транспорта (мореплавание), сферическая геометрия стала востребована не только в астрономии, но и при изучении поверхности земного шараШаблон:Sfn.

В настоящее время плоская и сферическая геометрии задействованы в науке о Земле геодезииШаблон:Sfn:

• плоская геометрия служит основой низшей геодезии, то есть геодезии небольших участков земли;
• сферическая геометрия служит основой высшей геодезии, то есть геодезии больших участков земли.

Плоскость и вектор

Сфера и касательный вектор

Общность сферической и плоской геометрий

Сферическая и плоская геометрия обладают многими общими чертами. Этот факт вытекает из того обстоятельства, что сфера «подвижна» таким же образом, как и плоскость, а именноШаблон:Sfn:

• любая точка плоскости и выходящий из неё вектор (то есть направление на плоскости) соответствующее движение плоскости отображает на любую другую точку плоскости с выходящим из неё вектором (см. рисунок справа с плоскостью и направлением);
• любая точка сферы и выходящий из неё касательный вектор (то есть направление на сфере) соответствующее движение сферы отображает на любую другую точку сферы с выходящим из неё касательным вектором (см. рисунок справа со сферой и направлением).

Основные понятия этих геометрийШаблон:Sfn:

• плоской — точка плоскости, прямая на плоскости и движение плоскости;
• сферической — точка сферы, большая окружность и движение сферы.

Окружность на сфере

Большая окружность (большой круг)

Малая окружность (малый круг)

Окру́жность на сфе́ре (круг на ша́реШаблон:Sfn) — сечение сферы плоскостьюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостьюШаблон:Sfn.

Большая окружность (большой круг), или геодезическая линияШаблон:Sfn, — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость, то есть проходит через центр сферыШаблон:Sfn.

Сферическое расстояние между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружностиШаблон:Sfn.

Малая окружность (малый кругШаблон:Sfn) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферыШаблон:Sfn, другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружностиШаблон:Sfn.

Сферический центр большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с осью окружности, то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сеченияШаблон:Sfn.

Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центраШаблон:Sfn.

Полюс большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется полярой полюсаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Движение сферы

Движение сферы — преобразование сферы, сохраняющее расстояние между точками на сфереШаблон:Sfn.

Предложение 1. Движение сферы переводит диаметрально противоположные точки в диаметрально противоположныеШаблон:Sfn.

Доказательство. При движении сферы радиуса $r$ расстояние между диаметрально противоположными точками на сфере, которое максимально и равно $2r$, сохраняется по определению, следовательно, диаметрально противоположные точки переходят в диаметрально противоположныеШаблон:Sfn.

Отсутствие плоской аналогии. В плоской геометрии отсутствует аналог этому свойству, поскольку на плоскости не существуют таких пары точек, для которых движение одной точки определяет движение другойШаблон:Sfn.

Поворот сферы

В итоге движение на плоскости и сфере принципиально отличаются, посколькуШаблон:Sfn:

• движение плоскости — это преобразование точек плоскости;
• движение сферы — это преобразование пар диаметрально противоположных точек сферы.

Шаблон:Якорь Поворот сферы — поворот сферы вокруг её некоторого диаметра $C{C}^{\prime }$ на угол $\alpha$. При таком повороте любая окружность сферы с осью $C{C}^{\prime }$ поворачивается вдоль самой себя на угол $\alpha$. При этом все эти окружности поворачиваются на угол $\alpha$ в одном направлении (см. рисунок справа с поворотом сферы)Шаблон:Sfn.

Симметрия сферы

Шаблон:Якорь Симметрия сферы — зеркальное отражение сферы относительно некоторой её диаметральной плоскости $\mathrm{\Pi }$. При такой симметрии любая точка $A$ отображается в такую точку $A^{\prime }$, обладающую следующими свойствами (см. рисунок справа с симметрией сферы)Шаблон:Sfn:

• отрезок $A{A}^{\prime }$ перпендикулярен плоскости $\mathrm{\Pi }$,
• середина отрезка $A{A}^{\prime }$ лежит на плоскости $\mathrm{\Pi }$.

Предложение 2. Любое движение сферы естьШаблон:Sfn:

• либо поворот,
• либо симметрия,
• либо композиция поворота и симметрии.

Поэтому в некотором смысле основные движения сферы — это поворот и симметрияШаблон:Sfn.

Плоская аналогия. Любое движение плоскости естьШаблон:Sfn:

• либо параллельный перенос,
• либо вращение,
• либо скользящая симметрия (симметрия относительно прямой — частный случай скользящей симметрии).

Два подхода к предмету сферической геометрии

Существуют два подхода к определению предмета сферической геометрииШаблон:Sfn.

Обычный подход

Шаблон:Якорь Предмет сферической геометрии — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются при произвольных движениях сферыШаблон:Sfn.

Предмет сферической геометрии — это частный случай предмета геометрии вообщеШаблон:Sfn.

Предмет геометрии — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются при произвольных движениях фигурыШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Равные фигуры на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся некоторым движением сферы. Равные фигуры имеют одинаковые геометрические свойстваШаблон:Sfn.

Предмет сферической геометрии без симметрии

Равные сферические треугольники

Предмет сферической геометрии без симметрии — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются только при произвольных поворотах сферыШаблон:Sfn.

Художественная литература. Написан научно-фантастический роман о жизни плоских существ, которые не могут выйти за пределы сферы, на которой живут. Такой мир называется Сферландия.

Равные фигуры без симметрии на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся только некоторым поворотом сферы (см. на рисунке справа равные фигуры)Шаблон:Sfn.

Симметричные сферические треугольники

Шаблон:Якорь Симметричные фигуры на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся некоторым движением сферы, но которые нельзя совместить никаким поворотом сферы (см. на рисунке справа симметричные фигуры)Шаблон:Sfn.

Плоская аналогия

Геометрия на плоскости также имет два подхода к определению своего предмета. При первом под движением плоскости понимается любое её движение (параллельный перенос, поворот, симметрия относительно прямой и их композиции). При втором подходе движение плоскости — это только «движение первого рода» (параллельный перенос, поворот и их композиция)Шаблон:Sfn.

Эти два подхода приводят к различным геометрическим системам планиметрии. При втором подходе имеются геометрические понятия, не имеющие смысла в обычное планиметрииШаблон:Sfn:

• направление обхода,
• ориентированная площадь,
• псевдоскалярное произведение.

При втором подходе определение равенства фигур из первого подхода также распадается на два определенияШаблон:Sfn.

Равные фигуры без симметрии на плоскости — фигуры. которые переходят друг в друга при «движении первого рода», то есть эти фигуры не просто «равны» в обычном понимании этого слова, но и имеют одинаковое направление обхода (по часовой стрелке или против)Шаблон:Sfn.

Симметричные фигуры на плоскости — фигуры, которые «равны» в обычном смысле, но не равны при «движениях первого рода», то есть имеют противоположные направления обходаШаблон:Sfn.

Наложение равных сферических треугольников

Невозможность наложения симметричных сферических треугольников

В плоской геометрии при первом подходе равные фигуры всегда можно наложить друг на друга, пусть и за счёт выхода из плоскости в трёхмерное пространство. В сферической геометрии раница между двумя подходами к её предмету может показаться более серьёзной, поскольку никаким «механическим» перемещением в трёхмерном пространстве нельзя совместить симметричные сферические треугольники. Даже если «вынуть» симметричный треугольник из сферы и попытаться приложить его к исходному симметричному треугольнику «другой стороной», то треугольники всё равно не совместятся из-за искривлённости сферы (см. рисунок справа с симметричными красными треугольниками, выгнутыми в разные стороны)Шаблон:Sfn.

Однако это не принципиально, потому что, если сферу поместить в четырёхмерное пространство, то тогда симметричные фигуры вполне совмещаются «механическим» перемещением, то есть при помощи «движения первого рода» в четырёхмерном пространствеШаблон:Sfn.

Принцип двойственности

Предложение 1. В сферической геометрии пара диаметрально противоположных точек есть геометрический объектШаблон:Sfn.

Доказательство. Произвольное движение сферы переводит пару диаметрально противоположных точек в пару диаметрально противоположных точекШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Принцип двойственности сферической геометрии — любая теорема сферической геометрии имеет другую двойственную теорему этой геометрии, которая получается из исходной взаимной заменой словШаблон:Sfn:

• «пара диаметрально противоположных точек» и «большая окружность»;
• «лежит на» и «проходит через»;
• «соединяются» и «пересекаются».

Три пары полюсов и три поляры

Доказательство. Имеют место два взаимно однозначных соответствия:

• любая большая окружность и её пара полюсов;
• пара диаметрально противоположных точек и их поляра,

и, кроме того, когда пара диаметрально противоположных точек лежит на некоторой большой окружности, то поляра этой пары точек проходит через полюсы этой окружностиШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Двойственные теоремы сферической геометрии — две теоремы, тексты которых получаются друг из друга заменами принципа двойственностиШаблон:Sfn.

Пример. Приведём следующий пример двойственных теоремШаблон:Sfn: Шаблон:Столбцы Шаблон:Столбец любые две большие окружности пересекаются в паре диаметрально противоположных точек, Шаблон:Столбец любые две пары диаметрально противоположных точек соединяются большой окружностью. Шаблон:Столбцы/конец

Когда доказана одна из двойственных теорем, то доказательство остальной теоремы получается из доказательства первой заменой каждой большой окружности её полюсами, а каждой пары диаметрально противоположных точек — её поляройШаблон:Sfn.

См. также

• Геометрия Римана
• Сферическая система координат
• Сферические функции

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Литература

• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — Шаблон:М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
• Берже М. Геометрия. / Пер. с франц., в 2 т. — Шаблон:М.: Мир, 1984. — Т. II, ч. V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Шаблон:Л.-Шаблон:М., 1948.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — Шаблон:М.: Физматлит, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Шаблон:М.: Наука, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — Шаблон:М.: УРСС, 2007.