Шар

Шаблон:Значения Шаблон:Обзорная статья Шаблон:Wiktionary

Шар (Шаблон:Lang-en) — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра шара на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга (или круга) вокруг его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Шар есть частный случай полной области Рейнхарта Шаблон:Sfn.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности $S$ и объём $V$ шара радиуса $r$ (и диаметром $d = 2 r$ ) определяются формулами:

$S = 4 π r^{2}$

$S = π d^{2}$

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Шаблон:Hider

$V = \frac{π d^{3}}{6}$

Шаблон:Hider

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство $(X, ρ)$ . Тогда

Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_{0} \in X$ и радиусом $r > 0$ называется множество

B_{r} (x_{0}) = {x \in X ∣ ρ (x, x_{0}) < r} .

Замкнутым шаром с центром в $x_{0}$ и радиусом $r$ называется множество

D_{r} (x_{0}) = {x \in X ∣ ρ (x, x_{0}) ⩽ r} .

Замечания

Шар радиуса $r$ с центром $x_{0}$ также называют $r$ -окрестностью точки $x_{0}$ .

Свойства

Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой $ρ$ .
Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой $ρ$ .
По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке $X$ являют собой её базу.
Очевидно, Br(x0)⊂Dr(x0). Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: Br(x0)‾≠Dr(x0).
- Например: пусть $(X, ρ)$ — дискретное метрическое пространство, и $X$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x \in X$ имеем:

B_{1} (x) = {x}, \overline{B_{1} (x)} = {x}, D_{1} (x) = X .

Диаграммы шара Рейнхарта и Хартогса
Диаграмма Рейнхарта шара в $ℂ^{2}$
Диаграмма Рейнхарта шара в $ℂ^{3}$
Диаграмма Хартогса шара в $ℂ^{2}$

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:^[1]

V_{n} (R) = \frac{π^{n / 2}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} R^{n},

где Шаблон:Math — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

V_{2 k} (R) = \frac{π^{k}}{k!} R^{2 k}

,

V_{2 k + 1} (R) = \frac{2^{k + 1} π^{k}}{(2 k + 1)!!} R^{2 k + 1} = \frac{2 (k!) (4 π)^{k}}{(2 k + 1)!} R^{2 k + 1}

.

Знаком Шаблон:Math здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

V_{n} (R) = \frac{2^{[\frac{n + 1}{2}]} π^{[\frac{n}{2}]}}{n!!} R^{n}

.

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

R_{n} (V) = \frac{Γ (n / 2 + 1)^{1 / n}}{\sqrt{π}} V^{1 / n}

.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

R_{2 k} (V) = \frac{(k! V)^{1 / 2 k}}{\sqrt{π}}

,

R_{2 k + 1} (V) = {(\frac{(2 k + 1)!! V}{2^{k + 1} π^{k}})}^{1 / (2 k + 1)}

.

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности $n - 2$ (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

V_{n} (R) = \frac{2 π R^{2}}{n} V_{n - 2} (R)

.

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

V_{n} (R) = R \sqrt{π} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} V_{n - 1} (R)

.

То же без гамма-функции:

\begin{matrix} V_{2 k} (R) & = R π \frac{(2 k - 1)!!}{2^{k} k!} V_{2 k - 1} (R) = R π \frac{(2 k - 1) (2 k - 3) \dots 5 \cdot 3 \cdot 1}{(2 k) (2 k - 2) \dots 6 \cdot 4 \cdot 2} V_{2 k - 1} (R), \\ V_{2 k + 1} (R) & = 2 R \frac{2^{k} k!}{(2 k + 1)!!} V_{2 k} (R) = 2 R \frac{(2 k) (2 k - 2) \dots 6 \cdot 4 \cdot 2}{(2 k + 1) (2 k - 1) \dots 5 \cdot 3 \cdot 1} V_{2 k} (R) . \end{matrix}

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1	$2 R$	$V / 2$
2	$π R^{2}$	$\frac{V^{1 / 2}}{\sqrt{π}}$
3	$\frac{4 π}{3} R^{3}$	${(\frac{3 V}{4 π})}^{1 / 3}$
4	$\frac{π^{2}}{2} R^{4}$	$\frac{(2 V)^{1 / 4}}{\sqrt{π}}$
5	$\frac{8 π^{2}}{15} R^{5}$	${(\frac{15 V}{8 π^{2}})}^{1 / 5}$
6	$\frac{π^{3}}{6} R^{6}$	$\frac{(6 V)^{1 / 6}}{\sqrt{π}}$
7	$\frac{16 π^{3}}{105} R^{7}$	${(\frac{105 V}{16 π^{3}})}^{1 / 7}$
8	$\frac{π^{4}}{24} R^{8}$	$\frac{(24 V)^{1 / 8}}{\sqrt{π}}$
9	$\frac{32 π^{4}}{945} R^{9}$	${(\frac{945 V}{32 π^{4}})}^{1 / 9}$
10	$\frac{π^{5}}{120} R^{10}$	$\frac{(120 V)^{1 / 10}}{\sqrt{π}}$

Пространства старших размерностей

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Объём гипершара
Объём гипершара размерности $n$ единичного радиуса в зависимости от $n$

Гипершар

[[Файл:Hypersphere coord.PNG|right|thumb|Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство: [[Параллель|Шаблон:Oncolor]], [[Меридиан|Шаблон:Oncolor]] и Шаблон:Oncolor.
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.]] Шаблон:Основная статья

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфе́ра (от Шаблон:Lang-grc «сверх-» + Шаблон:Lang-grc2 «шар») — гиперповерхность в $n$ -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

при $n = 1$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
при $n = 2$ она представляет собой окружность;
при $n = 3$ гиперсфера является сферой.
при $n = 4$ гиперсфера является 3-сферой.
при $n = 5$ гиперсфера является 4-сферой.

…

при $n = 8$ гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные^[2].

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является $(n - 1)$ -мерным подмногообразием в $n$ -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Гиперсфера радиуса $R$ с центром в точке $a = {a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}}$ задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

(x_{1} - a_{1})^{2} + (x_{2} - a_{2})^{2} + \dots + (x_{n} - a_{n})^{2} = R^{2}

Сферический слой

Шаблон:Основная статья Шаблон:Не путать

Сферический слой — область, заключённая между двумя концентрическими сферами различных радиусов Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Устаревшие синонимы: сферическая оболочкаШаблон:Sfn; шаровой слойШаблон:Sfn.

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой (Шаблон:Lang-en Шаблон:Sfn)Шаблон:Sfn.

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слояШаблон:Sfn.

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество $S$ комплексного пространства $ℂ^{n} (z)$ , которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров с центром в точке $a$ , где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар Шаблон:Sfn:

S = B (a, R) ∖ \bar{B} (a, r),

0 < r < R

,

или сразу как следующее обобщённое кольцо с центром в начале координат Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

S = {z \in ℂ^{n} : r < | z | < R, 0 < r < R}

.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства $ℂ \times ℝ (z, u)$ сферический слой $S$ с центром в начале координат можно определить следующей формулойШаблон:Sfn:

S = {(z, u) \in ℂ \times ℝ : r^{2} < | z |^{2} + u^{2} < R^{2}} .

Шаровой слой

Шаблон:Основная статья

Файл:Ball stratum 2.PNG

Шаровой слой

Файл:Ball stratum 1.PNG

Шар пересеченный двумя параллельными плоскостями

Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар^[3].

Основания шарового слоя — это сечения шара, образовавшиеся в результате пересечения шара двумя параллельными плоскостями.
Высота шарового слоя — это расстояние между основаниями слоя.
Объём шарового слоя можно найти как разность объёма двух шаровых сегментов:
$V = π [H_{1}^{2} (R - \frac{1}{3} H_{1}) - H_{2}^{2} (R - \frac{1}{3} H_{2})],$
где $V$ — объём шарового слоя, $H_{1}$ — высота большего шарового сегмента, $H_{2}$ — высота меньшего шарового сегмента, $R$ — радиус шара.
Площадь сферической части поверхности шарового слоя (так называемый сферический пояс) зависит только от высоты слоя и радиуса шара^[4]:
$S = 2 π R h,$

где

S

— площадь сферического пояса,

h

— высота шарового слоя,

R

— радиус шара.

Примеры

Пусть $ℝ^{d}$ — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда

если $d = 1$ (пространство — прямая), то

B_{r} (x_{0}) = {x \in ℝ ∣ | x - x_{0} | < r} = (x_{0} - r, x_{0} + r),

D_{r} (x_{0}) = {x \in ℝ ∣ | x - x_{0} | \leq r} = [x_{0} - r, x_{0} + r] .

— открытый и замкнутый отрезок соответственно.

если $d = 2$ (пространство — плоскость), то
$B_{r} ((x_{0}, y_{0})) = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}} < r},$

$D_{r} ((x_{0}, y_{0})) = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}} \leq r}$

— открытый и замкнутый диск соответственно.

если $d = 3$ , то
$B_{r} ((x_{0}, y_{0}, z_{0})) = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2}} < r},$

$D_{r} ((x_{0}, y_{0}, z_{0})) = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2}} \leq r}$

— открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве $ℝ^{d}$ метрику следующим образом:
$ρ (x, y) = \sum_{i = 1}^{d} ‖ x_{i} - y_{i} ‖, x = (x_{1}, \dots, x_{d})^{⊤}, y = (y_{1}, \dots, y_{d})^{⊤} \in ℝ^{d} .$

Тогда

если $d = 2$ , то $U_{r} (x_{0})$ — это открытый квадрат с центром в точке $x_{0}$ и сторонами длины $\sqrt{2}$ , расположенными по диагонали к координатным осям.
если $d = 3$ , то $U_{r} (x_{0})$ — это открытый трёхмерный октаэдр.

Примечания

Шаблон:Примечания

Источники

Литература

Шаблон:ВТ-ЭСБЕ

Ссылки на онлайн калькуляторы

Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite web Мультфильм про объём шара

Шаблон:Топология

↑ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ Шаблон:Wayback, Release 1.0.6 of 2013-05-06.
↑ Шаблон:Cite web
↑ Мантуров О. В. и др. Словарь математических терминов. — М.: Просвещение, 1965. — С. 512.
↑ Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 638.

[1] Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ Шаблон:Wayback, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

[2] Шаблон:Cite web

[3] Мантуров О. В. и др. Словарь математических терминов. — М.: Просвещение, 1965. — С. 512.

[4] Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 638.

[1]

[2]

[3]

[4]

Шар

Содержание

Связанные определения

Основные геометрические формулы