Полная категория

Категория называется полной в малом, если в ней любая малая диаграмма имеет предел. Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком, между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.

Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм, индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.

Примеры

• Следующие категории биполны:
  • категория множеств $𝒮et$;
  • категория групп $𝒢rp$;
  • категория колец $ℛing$;
  • категория абелевых групп $𝒜b$;
  • категория топологических пространств $𝒯op$;
  • категория компактных хаусдорфовых пространств $𝒞omp\mathscr{H}$;
  • категория малых категорий $𝒞at$;
• Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
  • категория конечных множеств $fSet$;
  • категория конечномерных векторных пространств над полем $K$ $fd-𝒱ec{t}_K$;
  • категория конечных групп $f𝒢rp$;
• Вообще, если ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}_{𝒯}$ — категория моделей некоторой Шаблон:Не переведено 5 $𝒯$, то ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}_{𝒯}$ полна и кополна, так как она рефлективна в $\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}(𝒯,𝒮et)$. Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
• (теорема о пределе с параметром) Если категория $𝒞$ полна (кополна), то категория $\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}(𝒜,𝒞)$ полна (кополна) для любой категории $𝒜$, причём пределы вычисляются поточечно.
• Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна.
• Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
• Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства

Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения. Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.

Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны:

• C конечно полна,
• C имеет все уравнители и конечные произведения,
• C имеет все уравнители, бинарные произведения и терминальный объект,
• C имеет все декартовы квадраты и терминальный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.

Если категория $C$ полна в малом, то для любой малой категории $A$ любой функтор $F:A\to C$ имеет правое расширение Кана ${\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}}_{K}F$ по любому функтору $K:A\to B$, причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.

Литература

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — Шаблон:М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — Шаблон:М: Мир, 1983. — 487 с.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга