Подобие

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек $A$, $B$ и их образов $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ имеет место соотношение $|A^{\prime }{B}^{\prime }|=k\cdot |AB|$, при некотором фиксированном $k\ne 0$, называемым коэффициентом подобия.

Понятие подобия определяется аналогично для метрических, для римановых пространств (см. раздел Обобщения).

История

Подобные фигуры рассматривались в Древней Греции в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и в VI книге «Начал» Евклида.

Частные случаи

• Гомотетией называется подобие, имеющее неподвижную точку и сохраняющее ориентацию.
• Движением называется преобразование подобия с коэффициентом $k=1$, то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.

Связанные определения

• Фигура $F$ называется подобной фигуре $F^{\prime }$, если существует преобразование подобия, при котором $F\mapsto F^{\prime }$.
  • Подобие фигур является отношением эквивалентности.
  • Для обозначения подобия обычно используется значок $\sim$ — $F\sim F^{\prime }$ означает, что фигуры $F$ и $F^{\prime }$ подобны.

Метод подобия

Подобие фигур применяется к решению многих задач на построение.

Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой. Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.

Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку.

Свойства

• Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
• Подобие является аффинным преобразованием плоскости.
• Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка $B$ лежит между точками $A$, $C$ и $B^{\prime }$, $A^{\prime }$, $C^{\prime }$ — соответствующие их образы при некотором подобии, то $B^{\prime }$ также лежит между точками $A^{\prime }$ и $C^{\prime }$.
• Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
• Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
• Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
• Подобие с коэффициентом $k=1$, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом $k$ или $-k$.
  • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения $D$ и некоторой гомотетии $\mathrm{\Gamma }$ с положительным коэффициентом.
  • Подобие называется собственным (несобственным), если движение $D$ является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
• Два треугольника в евклидовой геометрии являются подобными, если
  • их соответственные углы равны, или
  • стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
• Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в $n$-мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет $r$-членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов $r$-членная группа подобных преобразований Ли содержит $(r-1)$-членную нормальную подгруппу движений.

См. также

• Гомеоморфизм
• Конгруэнтность (геометрия)
• Конформное отображение
• Масштаб (коэффициент подобия)
• Признаки подобия треугольников
• Пропорциональность
• Самоподобие
• Симметрия

Ссылки

• Равенство и подобие геометрических фигур.
• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия