Борновское приближение

Борновское приближение в теории рассеяния применяется для вычисления рассеяния квантовых частиц в первом порядке теории возмущений.

Критерием применимости борновского приближения является, соответственно, критерий применимости теории возмущений. Так, для рассеяния частицы массы $m$ на потенциале $V$ действующем на расстоянии $a$, приближение заведомо применимо, если потенциальная энергия много меньше энергии нулевых колебаний $E_0$, т.е. $V\ll E_0\sim {\hslash }^2/m(a{)}^2$. Если же $V$ не мало по сравнению с $E_0$, то приближение становится применимым для достаточно быстрой частицы, для которой характерная частота пребывания в поле потенциала много больше самого потенциала, т.е. когда $V\ll \hslash v/a\sim E_0(a/\lambda )$, где $\lambda$ есть дебройлевская длина волны частицы.

Для дифференциального сечения рассеяния (сечение в элемент телесного угла $d\mathrm{\Omega }$) частицы с изменением импульса $\hslash \overrightarrow{q}$ в борновском приближении получается:

$d\sigma =\frac{{\mu }^2}{4{\pi }^2{\hslash }^4}{|\int V(\overrightarrow{r})e^{-i\overrightarrow{q}\overrightarrow{r}}{d}^{3}r|}^{2}d\mathrm{\Omega },$

где $\mu$ — приведённая масса.

Этот результат проще всего получить из вероятности перехода в непрерывном спектре плоских волн:

$w_{p^{\prime }p}=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|V_{p^{\prime }p}\right|}^2\delta (E_{p^{\prime }}-E_p)d{\nu }_{p^{\prime }}$,

где ${\nu }_{p^{\prime }}$ есть плотность конечных состояний. Подставляя энергию свободной частицы $E_p=p^2/(2m)$ , вычисляя матричный элемент потенциала в базисе плоских волн ${\psi }_{\overrightarrow{p}}(\overrightarrow{r})=e^{i\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}/\hslash }$ и интегрируя по импульсу рассеянного (конечного) состояния $p^{\prime }$, мы немедленно приходим к формуле Борна.

Амплитуда рассеяния в борновском приближении действительна и имеет вид:

$f=-\frac{m}{2\pi {\hslash }^2}\int V(\overrightarrow{r})e^{-i\overrightarrow{q}\overrightarrow{r}}{d}^{3}r.$

Таким образом, в борновском приближении амплитуда рассеяния является Фурье-образом рассеивающего потенциала. Действительность амплитуды рассеяния означает малость её аргумента, то есть фазы рассеяния. В борновском приближении фазы рассеяния на центрально симметричном потенциале в состояниях с угловым моментом $\hslash \sqrt{l(l+1)}$, имеют вид:

${\delta }_l=-\frac{\pi m}{\hslash }\int V(r)(J_{l+\frac{1}{2}}(qr){)}^{2}rdr,$

где $J_{l+\frac{1}{2}}(qr)$ — функция Бесселя.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга