Геометрия Галуа

Плоскость Фано, Проективная плоскость над полем из двух элементов, один из самых простых объектов геометрии Галуа.

Геометрия Галуа (названа именем французского математика 19-го века Эвариста Галуа) — это раздел конечной геометрии, рассматривающий алгебраическую и аналитическую геометрию над конечными полями (или полями Галуа). В более узком смысле геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем.

Введение

Объектами изучения служат векторные пространства, аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, содержащихся в них. В частности, Шаблон:Не переведено 5, овалы, гиперовалы, Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:Не переведено 5, овалы, многообразия и другие конечные аналоги структур, имеющихся в бесконечных геометриях.

Джордж Конуэлл продемонстрировал геометрию Галуа в 1910, когда описывал решение задачи Киркмана о школьницах как разбиение множества скрещивающихся прямых в PG(3,2), трёхмерной проективной геометрии над полем Галуа Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Подобно методам геометрии прямых в пространстве над полем с характеристикой 0, Конуэлл использовал плюккеровы координаты в PG(5,2) и отождествил точки, представляющие прямые в PG(3,2) с точками, лежащими на Шаблон:Не переведено 5.

В 1955 году Беньямино Сегре описал овалы для нечётных q. Шаблон:Не переведено 5 утверждает, что в геометрии Галуа нечётного порядка (проективная плоскость, определённая над конечным полем с нечётной характеристикой) любой овал является коническим сечением. На Международном конгрессе математиков 1958 года Сегре представил обзор имеющихся на то время результатов в геометрии ГалуаШаблон:Sfn.

$q$ называется порядком конечной проективной плоскости, такой, что каждая точка (прямая), и число точек равняется числу прямых, $q^2+q+1.$ Например, при $q=1$ проективная плоскость - треугольник. Плоскости Галуа являются конечными проективными плоскостями, для которых справедлива теорема Дезарга. Для конечной проективной плоскости $\mathrm{\Pi }$ определяется несколько когерентных конфигураций. Схема, содержащая их, определяется на множестве $V^2,$ где $V$ - множество элементов (точек и прямых) конечной проективной плоскости $\mathrm{\Pi },$ и в случае дезарговости расширяется до схемы, соответствующей покомпонентному действию группы $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{\Pi })$ на $V^2.$

См. также

• Проективная геометрия
• Геометрия инцидентности
• Соответствие Галуа

Литература

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback