Граф Мёбиуса — Кантора

Граф Мёбиуса — Кантора — симметричный двудольный кубический граф с 16 вершинами и 24 рёбрами, названный в честь Августа Фердинанда Мёбиуса и Зелигмана Кантора (1857—1903). Его можно определить как обобщённый граф Петерсена $G(8,3)$, то есть он образован вершинами восьмиугольника, соединёнными с восьмиугольной звездой, в которой каждая точка соединена с третьей по счёту точкой.

Конфигурация Мёбиуса — Кантора

Конфигурация Мёбиуса-Кантора

Мёбиус в 1828 годуШаблон:Sfn поставил вопрос о существовании пары многоугольников с $p$ сторонами в каждом, обладающих свойством, что вершины одного многоугольника лежат на прямых, проходящих через стороны другого, и наоборот. Если такая пара существует, то вершины и стороны этих многоугольников должны образовывать проективную конфигурацию. Для $p=4$ не существует решения на евклидовой плоскости, но в 1882 году КанторШаблон:Sfn нашёл пару многоугольников такого типа в обобщении задачи, в котором точки и рёбра принадлежат комплексной проективной плоскости, то есть в решении Кантора координатами вершин многоугольника являются комплексные числа. Решение Кантора для $p=4$ — пара взаимно вписанных четырёхугольников на комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса — Кантора. Граф Мёбиуса — Кантора получил своё имя от конфигурации Мёбиуса — Кантора, поскольку он является графом Леви этой конфигурации. Граф имеет одну вершину для каждой точки конфигурации и по точке для каждой тройки, а рёбра соединяют две вершины, если одна вершина соответствует точке, а другая — тройке, содержащей эту точку.

Связь с гиперкубом

Граф Мёбиуса — Кантора является подграфом четырёхмерного графа гиперкуба и образован путём удаления восьми рёбер из гиперкубаШаблон:Sfn. Поскольку гиперкуб является графом единичных расстояний, граф Мёбиуса — Кантора можно тоже изобразить на плоскости со всеми сторонами единичной длины, хотя такое представление приведёт к появлению перекрещивающихся рёбер.

Топология

Граф Мёбиуса — Кантора, вложенный в тор. Рёбра, выходящие вверх из центрального квадрата следует рассматривать соединёнными с соответствующими рёбрами, выходящими из квадрата вниз, а выходящие из квадрата рёбра слева следует рассматривать соединёнными с соответствующими рёбрами, выходящими из квадрата вправо.

Граф Мёбиуса — Кантора нельзя вложить в плоскость без пересечений, его число скрещиваний равно 4, и он является наименьшим кубическим графом с таким числом скрещиваний. Кроме того, граф даёт пример графа, все подграфы которого имеют число пересечений на два и более отличающихся от числа пересечений самого графа. Однако он является тороидальным — существует его вложение в тор, при котором все его грани являются шестиугольникамиШаблон:Sfn. Двойственный граф этого вложения — это граф гипероктаэдра $K_{2,2,2,2}$.

Существует даже более симметричное вложение графа Мёбиуса — Кантора в Шаблон:Не переведено 5, являющееся правильной картой и имеющее шесть восьмиугольных граней, в котором все 96 симметрий графа можно осуществить как симметрии вложенияШаблон:Sfn. 96-элементную группу симметрии вложения имеет граф Кэли, который может быть вложен в двойной тор. В 1984 году показано, что это единственная группа рода дваШаблон:Sfn.

Скульптура Девитта Годфри (DeWitt Godfrey) и Дуэйна Мартинеса (Duane Martinez) в виде двойного тора с вложенным графом Мёбиуса — Кантора выставлялась в Техническом музее Словении на шестой Словенской международной конференции по теории графов в 2007 году. В 2013 году вращающаяся версия скульптуры была выставлена в Колгейтском университете.

Граф Мёбиуса — Кантора допускает вложение в Шаблон:Не переведено 5 (тор третьего рода), которое даёт правильную карту, имеющую четыре 12-угольных граниШаблон:Sfn.

В 2004 году в рамках исследования возможных химических углеродных структур, изучено семейство всех вложений графа Мёбиуса — Кантора в двумерные многообразия, в результате показано, что существует 759 неэквивалентных вложенийШаблон:Sfn.

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов графа Мёбиуса — Кантора — это группа порядка 96. Она действует транзитивно на вершины и на рёбра, поэтому граф Мёбиуса — Кантора является симметричным. У него есть автоморфизмы, которые переводят любую вершину в любую другую и любое ребро в любое другое. Согласно списку Фостера граф Мёбиуса — Кантора является единственным симметричным графом с 16 вершинами и наименьшим кубическим симметричным графом, который не является дистанционно-транзитивным. Граф Мёбиуса — Кантора является также графом Кэли.

Обобщённый граф Петерсена $G(n,k)$ является вершинно-транзитивным в том и только в том случае, когда $n=10$ и $k=2$, или когда $k^2=\pm 1(\mathrm{mod}n)$, и рёберно-транзитивным только в следующих семи случаях: $(n,k)\in \{(4,1),(5,2),(8,3),(10,2),(10,3),(12,5),(24,5)\}$Шаблон:Sfn. Таким образом, граф Мёбиуса — Кантора является одним из этих семи ребёрно-транзитивных обобщённых графов Петерсена. Его симметричное вложение в двойной тор — одна из семи правильных кубических карт, для которых общее число вершин вдвое больше числа вершин гранейШаблон:Sfn. Среди семи симметричных обобщённых графов Петерсена находятся кубический граф $G(4,1)$, граф Петерсена $G(5,2)$, граф додекаэдра $G(10,2)$, граф Дезарга $G(10,3)$ и граф Науру $G(12,5)$.

Характеристический многочлен графа Мёбиуса — Кантора равен:

$(x-3)(x-1{)}^3(x+1{)}^3(x+3)(x^2-3{)}^4.$

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья. В Gesammelte Werke (1886), том 1, страницы 439—446.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Статья

Внешние ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld