Группа трилистника

Левый трилистник

Группа трилистника — группа узла трилистника, простейшего нетривиального узла. Является классическим объектом изучения комбинаторной теории групп, который возникает в теории кос, алгебраической геометрии и Шаблон:Нп5.

История

С группой трилистника связана важная проблема теории узлов о неэквивалентности узла трилистника и его зеркального образа (так называемых левых и правых трилистников), поставленная Титце в 1908 годуШаблон:Sfn. Данные узлы не удавалось отличить имеющимися на тот момент инструментами, поскольку их группы изоморфны, и это побуждало исследователей к поиску новых методов. Решение проблемы Титце было получено Деном в 1914 году на основе анализа действия автоморфизма группы трилистника, индуцированного зеркальным отражением этого узла, на периферической системе трилистника — его меридиане и параллели.

Определение

Группой трилистника называется фундаментальная группа дополнения узла трилистника $T_{2,3}$:

$G_{2,3}:={\pi }_1(S^3\setminus T_{2,3})$.

Группа трилистника может быть следующим образом задана образующими и соотношениями.

Шаблон:Нп5, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид

$G_{2,3}\cong ⟨x,y,z\mid y^{-1}xy=z,z^{-1}yz=x,x^{-1}zx=y⟩$.

Копредставление Дена, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет видШаблон:Sfn

$G_{2,3}\cong ⟨c_1,c_2,c_3,c_4\mid c_1{c}_4^{-1}{c}_2=c_2{c}_4^{-1}{c}_3=c_3{c}_4^{-1}{c}_1=1⟩$.

Группа трилистника является элементом серии групп $G_{p,q}$ торических узлов и зацеплений типа $(p,q)$. В частности, она допускает стандартное для этой серии задание

$G_{2,3}\cong ⟨a,b\mid a^2=b^3⟩$.

Данное задание может быть получено из копредставления Виртингера правилами $a=yzy$ и $b=yz$, или, что то же самое, $y=a{b}^{-1}$ и $z=b^2{a}^{-1}$.

Связь с теорией кос

Группа трилистника изоморфна группе кос $B_3$ из трёх нитей:

$G_{2,3}\cong B_3$.

А именно, в образующих ${\sigma }_1:=y$ и ${\sigma }_2:=z$ копредставление Виртингера принимает вид стандартного копредставления группы кос $B_3$:

$G_{2,3}\cong ⟨{\sigma }_1,{\sigma }_2\mid {\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1={\sigma }_2{\sigma }_1{\sigma }_2⟩$.

Концептуальным объяснением данного изоморфизма является гомотопическая эквивалентность дополнения трилистника и конфигурационного пространства ${\mathrm{UConf}}_3({ℝ}^2)$ неупорядоченных наборов трёх различных точек на плоскости (см. Шаблон:Ссылка на раздел).

Связь с алгебраической геометрией

Группа трилистника изоморфна локальной фундаментальной группе обыкновенного каспа, или, что приводит к тому же,

$G_{2,3}\cong {\pi }_1({ℂ}^2\setminus Y)$,

где $Y:=\{(x,y)\in {ℂ}^2\mid x^2=y^3\}$Шаблон:Sfn. Данный изоморфизм тесно связан с вышеуказанной интерпретацией дополнения трилистника.

Связь с алгебраической К-теорией

Группа трилистника изоморфна второй Шаблон:Нп5 кольца целых чисел:

$G_{2,3}\cong S{t}_2(\mathbb{Z})$.

А именно, в образующих $x_{1,2}:={\sigma }_1$ и $x_{2,1}:={\sigma }_2^{-1}$ копредставление группы кос $B_3$ принимает вид стандартного копредставления группы $S{t}_2(\mathbb{Z})$ с одним соотношением Стейнберга:

$G_{2,3}\cong ⟨x_{1,2},x_{2,1}\mid x_{1,2}{x}_{2,1}^{-1}{x}_{1,2}=x_{2,1}^{-1}{x}_{1,2}{x}_{2,1}^{-1}⟩$.

Пролить свет на данный изоморфизм можно следующим образомШаблон:Sfn.

Дополнение трилистника и фактор специальной линейной группы ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$, рассматриваемой как группа Ли, по решетке ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$ гомеоморфныШаблон:Sfn:

$S^3\setminus T_{2,3}\cong {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)/{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$.

Универсальное накрытие

$\pi :\overline{{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)}\to {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$

является гомоморфизмом групп Ли. Обозначим символом $\overline{{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})}$ прообраз подгруппы ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$ относительно этого гомоморфизма. Иными словами, группа $\overline{{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})}$ является ядром композиции

$\overline{{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)}\to {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)\to {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)/{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$.

Данная композиция сама является универсальным накрытием, и следовательно, имеется следующая цепочка изоморфизмов:

$\overline{{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})}\cong {\pi }_1({\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)/{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}))\cong {\pi }_1(S^3\setminus T_{2,3})\cong G_{2,3}$.

Получающийся из этой цепочки и универсального накрытия $\pi$ эпиморфизм

$\psi :G_{2,3}\to {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$

переводит образующие ${\sigma }_1$ и ${\sigma }_2$ группы трилистника в Шаблон:Нп5:

${\sigma }_1\mapsto e_{1,2}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$,

${\sigma }_2\mapsto e_{2,1}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$.

Гомоморфизм $\psi$ не является мономорфизмом. А именно, его ядро является бесконечным циклическим и порождается элементомШаблон:Sfn

$a^4=b^6=({\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1{)}^4=({\sigma }_1{\sigma }_2{)}^6$.

Свойства

Центр $Z(G_{2,3})$ группы трилистника, как и группы любого торического зацепления, является бесконечным циклическим, а именно, он порождён элементом

$a^2=b^3=({\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1{)}^2=({\sigma }_1{\sigma }_2{)}^3$.

В группе кос $B_3$ такому элементу соответствует центральная коса ${\mathrm{\Delta }}_3^2$.

Как и для любого узла, абелианизация группы трилистника изоморфна первой группе гомологий дополнения трилистника и является бесконечной циклической:

$G_{2,3}^{ab}\cong H_1(S^3\setminus T_{2,3};\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$.

Гомоморфизм абелианизации $G_{2,3}\to \mathbb{Z}$ сопоставляет образующим ${\sigma }_1$ и ${\sigma }_2$ число $1$, а образующим $a$ и $b$ — числа $3$ и $2$.

Коммутант $[G_{2,3},G_{2,3}]$ группы трилистника является свободной группой ранга два. Это связано с тем, что узел трилистник, как и любое торическое зацепление, является расслоённымШаблон:Sfn. В качестве двухэлементного базиса можно взять, например, элементы ${\sigma }_2{\sigma }_1^{-1}$ и ${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1^{-2}$Шаблон:Sfn.

Группа трилистника является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Бурау группы кос из трёх нитей является точным.

Факторгруппы

Модулярная группа

Факторгруппа группы трилистника по её центру изоморфна модулярной группе:

$G_{2,3}/Z(G_{2,3})\cong {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$.

Данный изоморфизм получается из теоремы о гомоморфизме, применённой к композиции

$G_{2,3}\to {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})\to {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$

вышеприведённого эпиморфизма $\psi$ и канонической проекцией на факторгруппу группы ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$ по её двухэлементному центру $\{I_2,-I_2\}$. Поскольку образующая $-I_2$ данного центра может быть представлена в виде

$(e_{1,2}{e}_{2,1}^{-1}{e}_{1,2}{)}^2=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$,

ядро полученного эпиморфизма порождено элементом $({\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1{)}^2$, и следовательно, совпадает с центром группы трилистника.

Такой эпиморфизм

$G_{2,3}\to {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$

является примером проективного представления группы трилистника.

См. также

• Модулярная группа

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья