Группы Конвея

Группы Конвея — это три введённые Конвеем спорадические простые группы Co₁, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 вместе со связанной с ними конечной группой Co₀Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Наибольшая из групп Конвея, Co₀, является группой автоморфизмов решётки Лича $\mathrm{\Lambda }$. Эта группа имеет порядок

Шаблон:Val

Она не является простой группой. Простая группа Co₁ порядка

Шаблон:Val

определяется как факторгруппа группы Co₀ по её центру, который состоит из скалярных матриц ±1.

Скалярное произведение на решётке Лича определяется как 1/8 суммы произведений соответствующих координат двух перемножаемых векторов. Это целое число. Квадратичная норма вектора равна скалярному произведению вектора на себя, всегда чётное целое число. Часто говорят о типе вектора решётки Лича, который равен половине нормы. Подгруппы часто называются согласно типам соответствующих фиксированных точек. Решётка не имеет векторов типа 1.

Группы Шаблон:Не переведено 5 (порядка Шаблон:Val) и Шаблон:Не переведено 5 (порядка Шаблон:Val) состоят из автоморфизмов $\mathrm{\Lambda }$, сохраняющих вектора типа 2 и вектора типа 3 соответственно. Так как умножение на скаляр −1 не сохраняет никакого ненулевого вектора, эти две группы изоморфны подгруппам группы Co₁.

История

Томас ТомпсонШаблон:Sfn рассказал, как Шаблон:Не переведено 5 примерно в 1964 году исследовал плотную упаковку сфер в евклидовых пространствах высоких размерностей. Одним из открытий Лича была решётчатая укладка в 24-мерном пространстве, основанная на том, что стало называться решёткой Лича $\mathrm{\Lambda }$. Он решил узнать, содержит ли группа симметрии решётки интересные простые группы, но почувствовал, что ему нужна помощь кого-либо, более осведомлённого в теории групп. Он долго искал такого человека, но математики были заняты своими собственными задачами. Джон Конвей согласился посмотреть на эту задачу. Джон Г. Томпсон заявил, что примет участие в работе, если Конвей найдёт порядок группы. Конвей полагал, что потратит на проблему месяцы или годы, но получил результат за несколько дней.

ВиттШаблон:Sfn утверждал, что он нашёл решётку Лича в 1940 году, и намекнул, что вычислил порядок её группы автоморфизмов Co₀.

Мономиальная подгруппа N группы Co₀

Конвей начал свои исследования Co₀ с подгруппы, которую он назвал N. Это Шаблон:Не переведено 5 (расширенного) двоичного кода Голея, представленного как набор диагональных матриц c 1 или −1 на диагонали, то есть его расширение с помощью Шаблон:Не переведено 5 (элементы которой представлены как матрицы перестановки). Шаблон:Nowrap.

Стандартное представление двоичного кода Голея, используемое в данной статье, упорядочивает 24 координаты так, что 6 последовательных блоков по 4 (тетрад) образуют Шаблон:Не переведено 5.

Матрицы группы Co₀ ортогональны. То есть, они оставляют скалярное произведение неизменным. Обратная матрица является её транспонированной. Co₀ не содержит матриц с определителем −1.

Решётку Лича можно определить как Z-модуль, порождённый множеством ${\mathrm{\Lambda }}_2$ всех векторов типа 2, состоящих из

(4, 4, 0²²)

(2⁸, 0¹⁶)

(−3, 1²³)

и их образов под действием N. ${\mathrm{\Lambda }}_2$ под действием N распадается на 3 орбиты размера 1104, 97152 и 98304. Тогда $|{\mathrm{\Lambda }}_2|=196560=2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 13$. Конвей сильно подозревал, что Co₀ транзитивна на ${\mathrm{\Lambda }}_2$, и, более того, он обнаружил новую матрицу, не Шаблон:Не переведено 5 и не целочисленную.

Пусть $\eta$ — матрица 4×4

$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& -1\\ -1& 1& -1& -1\\ -1& -1& 1& -1\\ -1& -1& -1& 1\end{array}\right)$

Теперь пусть $\zeta$ — 6-блочная матрица с нечётным числом $\eta$ и $-\eta$Шаблон:SfnШаблон:Sfn. $\zeta$ является симметричной и ортогональной матрицей, а значит, представляет собой инволюцию. Она переставляет вектора между различными орбитами группы N.

Чтобы вычислить $|{\mathrm{C}\mathrm{o}}_0|$, лучше всего рассмотреть ${\mathrm{\Lambda }}_4$, множество векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является в точности одним из 48 векторов типа 4, сравнимых друг с другом по модулю $2\mathrm{\Lambda }$, которые распадаются на 24 ортогональные пары $\{v,-v\}$. Набор из 48 таких векторов называется каркасом (Шаблон:Lang-en). N имеет в качестве орбиты стандартный каркас из 48 векторов вида (±8, 0²³). Подгруппа, фиксирующая заданный каркас, сопряжена с N. Группа 2¹², изоморфная коду Голея, действует как изменение знака векторов каркаса, в то время как M₂₄ переставляет 24 пары каркаса. Co₀, как можно показать, транзитивна на ${\mathrm{\Lambda }}_4$. Конвей перемножил порядок $2^{12}|{\mathrm{M}}_{24}|$ группы N и число каркасов, последнее равно отношению $|{\mathrm{\Lambda }}_4|/48=8252375=3^6\cdot 5^3\cdot 7\cdot 13$. Это произведение является порядком любой подгруппы группы Co₀, которая строго содержит N. Следовательно, N является максимальной подгруппой группы Co₀ и содержит силовские 2-подгруппы группы Co₀. N также является подгруппой Co₀ всех матриц с целыми элементами.

Поскольку $\mathrm{\Lambda }$ включает вектора вида Шаблон:Nowrap, Co₀ состоит из рациональных матриц, в которых все знаменатели делят 8.

Наименьшее нетривиальное представление группы Co₀ над любым полем является 24-мерным, возникающим из решётки Лича, и оно точно над полями с характеристикой, отличной от 2.

Инволюции в Co₀

Любая инволюция в Co₀, как можно показать, сопряжена элементу в коде Голея. Co₀ имеет 4 класса сопряжённости инволюций.

Перестановочная матрица вида 2¹², как можно показать, сопряжена додекадам. Её централизатор имеет вид 2¹²:M₁₂ и имеет сопряжения внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица в этом сопряжённом классе имеет след 0.

Матрица перестановок вида 2⁸1⁸, как можно показать, сопряжена октаде. Она имеет след 8. Она и противоположная ей (след −8) имеют общий централизатор вида $(2^{1+8}\times 2).{\mathrm{O}}_8^{+}(2)$, максимальная подгруппа в Co₀.

Группы подрешёток

Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно найденные спорадические простые группы, описанные в докладе на конференцииШаблон:Sfn, изоморфны подгруппам или факторгруппам подгрупп Co₀.

Конвей сам использовал нотацию для стабилизаторов точек и подпространств, ставя в начале префикс в виде точки. Исключениями были •0 и •1, известные ныне как Co₀ и Co₁. Для целого $𝐧⩾2$ пусть $\mathit{\cdot }𝐧$ означает стабилизатор точек типа n (см. выше) в решётке Лича.

Конвей затем ввёл названия для стабилизаторов плоскостей, определённых треугольниками, имеющими начало координат в качестве вершины. Пусть •hkl будет поточечным стабилизатором треугольника с рёбрами (разности вершин) типа h, k и l. В простейших случаях Co₀ транзитивна на точках или треугольниках и группы стабилизаторов определены с точностью до сопряжённости.

Конвей отождествил •322 с Шаблон:Не переведено 5 McL (порядок Шаблон:Val), а •332 с Шаблон:Не переведено 5 HS (порядок Шаблон:Val). Обе были недавно обнаружены.

Ниже таблицаШаблон:SfnШаблон:Sfn некоторых групп подрешёток:

Название	Порядок	Структура	Пример вершин
•2	218 36 53 7 11 23	Co2	(−3, 123)
•3	210 37 53 7 11 23	Co3	(5, 123)
•4	218 32 5 7 11 23	211:M23	(8, 023)
•222	215 36 5 7 11	PSU6(2) ≈ Fi21	(4, −4, 022), (0, −4, 4, 021)
•322	27 36 53 7 11	McL	(5, 123), (4, 4, 022)
•332	29 32 53 7 11	HS	(5, 123), (4, −4, 022)
•333	24 37 5 11	35 M11	(5, 123), (0, 212, 011)
•422	217 32 5 7 11	210:M22	(8, 023), (4, 4, 022)
•432	27 32 5 7 11 23	M23	(8, 023), (5, 123)
•433	210 32 5 7	24.A8	(8, 023), (4, 27, −2, 015)
•442	212 32 5 7	21+8.A7	(8, 023), (6, −27, 016)
•443	27 32 5 7	M21:2 ≈ PSL3(4):2	(8, 023), (5, −3, −3, 121)

Две другие спорадические подгруппы

Две спорадические подгруппы можно определить как факторгруппы стабилизаторов структур на решётке Лича. Отождествление R²⁴ с C¹² и $\mathrm{\Lambda }$ с

$𝐙{\left[e^{\frac{2}{3}\pi i}\right]}^{12},$

результирующей группой автоморфизмов (то есть, группой автоморфизмов решётки Лича, сохраняющих Шаблон:Не переведено 5), когда делится на шестиэлементную группу комплексных скалярных матриц, даёт Шаблон:Не переведено 5 Suz (порядка Шаблон:Val). Эту группу обнаружил в 1968 году Митио Сузуки.

Похожее построение даёт группу Янко J₂ (порядок Шаблон:Val) как факторгруппу кватернионных автоморфизмов $\mathrm{\Lambda }$ по группе скаляров ±1.

Семь простых групп, описанных выше, включают то, что Роберт Грисс назвал вторым поколением счастливого семейства, которое состоит из 20 спорадических простых групп, найденных в монстре. Некоторые из семи групп содержат по меньшей мере некоторые из пяти групп Матьё, которые составляют первое поколение.

Цепочка Сузуки произведения групп

Co₀ имеет 4 класса смежности элементов порядка 3. В M₂₄ элемент вида 3⁸ образует группу, нормальную в копии S₃, которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение $\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2,7)\times {\mathrm{S}}_3$ в M₂₄ переставляет октады Шаблон:Не переведено 5 и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальной подгруппе. В Co₀ этот мономиальный нормализатор $2^4:\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2,7)\times {\mathrm{S}}_3$ расширен до максимальной подгруппы вида $2.{\mathrm{A}}_9\times {\mathrm{S}}_3$, где 2.A₉ является двойным накрытием знакопеременной группы A₉Шаблон:Sfn.

Джон Томпсон указал на то, что было бы плодотворно изучение нормализаторов малых групп вида 2.A_nШаблон:Sfn. Некоторые максимальные подгруппы Co₀ найдены таким способом. Более того, две спорадические группы появляются в результирующей цепочке.

Существует подгруппа $2.{\mathrm{A}}_8\times {\mathrm{S}}_4$, только одна из её цепочек не максимальна в Co₀. Далее, существует подгруппа $(2.{\mathrm{A}}_7\times {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(7)):2$. Следующей идёт $(2.{\mathrm{A}}_6\times {\mathrm{S}\mathrm{U}}_3(3)):2$. Унитарной группой ${\mathrm{S}\mathrm{U}}_3(3)$ (порядок Шаблон:Val) связана с группой автоморфизмов графа с 36 вершинами, предвосхищая следующую подгруппу. Эта подгруппа — $(2.{\mathrm{A}}_5\circ \mathrm{2}\mathrm{.}\mathrm{H}\mathrm{J}):2$, в которой появляется Группа Янко J2. Упомянутый граф расширяется до графа Холла — Янко со 100 вершинами. Следующей идёт $(2.{\mathrm{A}}_4\circ 2.{\mathrm{G}}_2(4)):2$, группа G₂(4), которая является исключительной группой лиева типаШаблон:SfnШаблон:Ref+.

Цепочку завершает 6.Suz:2 (Suz=Шаблон:Не переведено 5), которая, как упомянуто выше, сохраняет комплексное представление решётки Лича.

Обобщённый Чудовищный Вздор

Конвей и Нортон предположили в статье 1979 года, что возможен аналог чудовищного вздора и для других групп. Лариса Куин и другие последовательно нашли, что можно построить расширения многих главных модулей (в английской литературе используется заимствованный из немецкого языка термин Hauptmodul, буквально — главный модуль) из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующие ряды Маккея — Томпсона — это $T_{2B}(\tau )$={1, 0, 276, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, …} (Шаблон:OEIS2C) и $T_{4A}(\tau )$={1, 0, 276, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, …} (Шаблон:OEIS2C), где постоянный член Шаблон:Nowrap,

$\begin{array}{cc}{j}_{4A}(\tau )& =T_{4A}(\tau )+24\\ & ={\left(\frac{{\eta }^2(2\tau )}{\eta (\tau )\eta (4\tau )}\right)}^{24}\\ & ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}\right)}^4+4^2{\left(\frac{\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^4)}^2\\ & =\frac{1}{q}+24+276q+2048q^2+11202q^3+49152q^4+\dots \end{array}$

и $\eta (\tau )$ является Шаблон:Не переведено 5.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга Перепечатано в Шаблон:Harvtxt
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ version 2
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ (Шаблон:Wayback) version 3
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья