Двурогая кривая

Двурогая кривая

Двурогая кривая, известная также как треуголка ввиду её сходства с двууголкой, — это рациональная кривая четвёртой степени, задаваемая уравнением

$y^2(a^2-x^2)=(x^2+2ay-a^2{)}^2.$

Кривая имеет два каспа и симметрична относительно оси y.

История

В 1864 Джеймс Джозеф Сильвестр изучал кривую

$y^4-x{y}^3-8x{y}^2+36x^{2}y+16x^2-27x^3=0$

в связи с классификацией уравнений пятой степени. Он назвал кривую двурогой ввиду наличия двух каспов. Эту кривую позднее изучал Артур Кэли в 1867.

Свойства

Преобразованная двурогая кривая с a = 1

Двурогая кривая является плоской алгебраической кривой четвёртой степени нулевым родом. Кривая имеет две касповых особенности в вещественной плоскости и двойную точку в комплексной проективной плоскости при x=0, z=0. Если мы переносим x=0 и z=0 в начало координат и осуществляем мнимое вращение по x путём подстановки ix/z вместо x и 1/z вместо y, мы получим

$(x^2-2az+a^2{z}^2{)}^2=x^2+a^2{z}^2.$

Эта кривая, улитка Паскаля, имеет обычную двойную точку в начале координат и две точки пересечения с осями в точках x = ± i и z=1.

Параметрическое уравнение двурогой кривой:

$x=a\sin (\theta )$ и $y=a\frac{{\cos }^2(\theta )(2+\cos (\theta ))}{3+{\sin }^2(\theta )}$ с $-\pi \le \theta \le \pi$

См. также

• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• "Bicorn" at The MacTutor History of Mathematics archive
• Шаблон:MathWorld
• "Bicorne" at "mathcurve"
• The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester. Vol. II Cambridge (1908) p. 468 (online)