Доля единицы
Доля единицы (аликвотная дробь) — это рациональное число в виде дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — положительное целое число. Доля единицы, таким образом, является обратным числом положительного целого числа, 1/n. Примеры — 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д.
Элементарная арифметика
Умножение любых двух долей единицы даёт долю единицы:
Однако сложение, вычитание или деление двух долей единицы дают в общем случае отличный от долей единицы результат:
Модульная арифметика
Доли единицы играют важную роль в сравнении по модулю, поскольку их можно использовать для сведения модульного деления к вычислению наибольшего общего делителя. В частности, предположим, что мы желаем вычислить результат деления на x по модулю y. Чтобы деление на x было определено по модулю y, x и y должны быть взаимно простыми. Тогда с помощью расширенного алгоритма Евклида для поиска наибольшего общего делителя мы можем найти такие a и b, что
откуда следует
что эквивалентно
Таким образом, для деления на x (по модулю y) нужно просто умножить на a.
Конечная сумма долей единицы
Любое положительное рациональное число можно представить в виде суммы долей единицы несколькими путями. Например,
Древние египтяне использовали суммы различных долей единицы в записи рациональных чисел и такие суммы часто называют египетскими дробями. До сих пор существует интерес к анализу методов, использовавшися древними для выбора возможных представлений и вычисления таких представленийШаблон:Sfn. Тема египетских дробей представляет интерес и для современной теории чисел. Например, гипотеза Эрдёша — Грэма и гипотеза Эрдёша — Штрауса касаются сумм долей единиц, как и определение Шаблон:Не переведено 5.
В геометрической теории групп группы треугольников классифицируются как евклидовы, сферические и гиперболические в зависимости от того, равна ли связанная с ними сумма долей единицы единице, меньше единицы или больше единицы.
Последовательности долей единицы
Много хорошо известных бесконечных рядов имеют члены в виде дробей единицы. Среди них:
- Гармонический ряд — сумма всех положительных долей единицы. Эта сумма расходится, а её частичные суммы
- Базельская задача рассматривает сумму квадратов долей единицы, которая сходится к π2/6.
- Постоянная Апери — сумма кубов долей единицы.
- Геометрические прогрессии и Шаблон:Не переведено 5 являются дополнительными примерами рядов долей единицы.
Матрицы из долей единицы
Матрица Гильберта имеет в качестве элементов числа
Она имеет необычное свойство — все элементы обратной ей матрицы являются целыми числамиШаблон:Sfn. Подобным образом РичардсонШаблон:Sfn определил матрицу с элементами
где Fi обозначает i-е число Фибоначчи. Он назвал эту матрицу «матрицей Филберта» и она имеет то же самое свойствоШаблон:Sfn.
Смежные дроби
Две дроби называются смежными, если их разность является долей единицы[1][2].
Доли единицы в теории вероятности и статистике
В дискретном равномерном распределении все вероятности равны доле единицы. Согласно Шаблон:Не переведено 5 вероятности такого типа часто возникают в статистических вычисленияхШаблон:Sfn. Кроме того, закон Ципфа утверждает, что для многих наблюдаемых событий, включая выбор объектов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что n-й объект будет выбран, пропорциональна доли единицы 1/nШаблон:Sfn.
Доли единицы в физике
Уровни энергии фотонов, которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга, пропорциональны разности двух долей единицы. Объяснение такому явлению даёт боровская модель, согласно которой уровни энергии электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадрату долей единицы, а энергия фотона квантуется разностью уровнейШаблон:Sfn.
Артур Эддингтон утверждал, что постоянная тонкой структуры равна доле единицы, сначала 1/136, а затем 1/137. Это утверждение оказалось неверным, и современная оценка значения постоянной тонкой структуры равна (с точностью до 6 знаков) 1/137,036Шаблон:Sfn.