Квантовый граф

Квантовый граф — граф, в котором каждому ребру назначена длина и на каждом ребре задано дифференциальное или псевдодифференциальное уравнение.

В качестве примера может служить электрическая сеть, состоящая из проводов (рёбер), соединённых в трансформаторных подстанциях (вершинах). Дифференциальные уравнения описывают напряжение на проводах, а граничные условия на вершинах обеспечивают нулевую сумму тока на всех входящих и исходящих ребрах каждой вершины.

Впервые были применены Лайнусом Полингом в 1930-е годы для моделирования свободных электронов в органических молекулах. Впоследствии нашли широкое применение в физике: в моделях систем квантового хаоса, при изучении волноводов, для моделирования перехода Андерсона в фотонных кристаллах; в мезоскопической физике квантовые графы используются для теоретического обоснования нанотехнологии. Более простое понятие квантовых графов было предложено Фридманом и другими..

Помимо решения дифференциальных уравнений на квантовом графе для конкретных приложений, изучаются вопросы управляемости (какое входное воздействие обеспечивает переход системы в желаемое состояние, например, для обеспечения достаточной электрической мощности на всех подстанциях) и идентификации систем (как и где необходимо провести измерения какой-либо величины, чтобы получить необходимую информацию о состоянии системы, например, измерение давления в водопроводной системе, чтобы обнаружить утечку воды).

Метрические графы

Метрический граф с тремя открытыми рёбрами, реализованный на плоскости. Пунктирные линии обозначают метрическое расстояние между двумя точками $x$ и $y$.

Метрический граф — граф, состоящий из множества вершин $V$ и множества рёбер $E$, где каждому ребру $e=(v_1,v_2)\in E$ поставлен в соответствие интервал $[0,L_e]$ так, что $x_e$ — координата на этом интервале, вершины $v_1$ и $v_2$ соответствуют $x_e=0$ и $x_e=L_e$, или наоборот. Выбор того, какая вершина соответствует нулевой координате, произволен, и переназначение вершин начала и конца ребра требует только замены координат ребра. Граф обладает естественной метрикой: для двух точек $x,y$ на графе, расстояние $\rho (x,y)$ — длина кратчайшего пути между ними, где длина пути измеряется как сумма длин ребёр пути.

Шаблон:ЯкорьЕсли в комбинаторном (классическом) графе ребро всегда соединяет пару вершин, то в квантовом графе допускаются полубесконечные ребра (лучи), таким рёбрам ставится в соответствие интервал $[0,\mathrm{\infty })$, где единственная вершина соответствует $x_e=0$. Граф, имеющий хотя бы одно такое ребро, называется открытым.

Квантовые графы

Квантовый граф — метрический граф с заданным дифференциальным (или псевдодифференциальным) оператором, действующим на функциях на рёбрах графа. Функция $f$ на метрическом графе определяется как $|E|$-кортеж функций $f_e(x_e)$ на интервалах на рёбрах. Гильбертово пространство графа — $\underset{e\in E}{⨁}{L}^2([0,L_e])$, где внутреннее произведение двух функций задано как

$⟨f,g⟩=\sum _{e\in E}\underset{0}{\overset{L_e}{\int }}\overline{f_e(x_e)}{g}_e(x_e)d{x}_e,$

$L_e$ может быть бесконечным в случае открытых рёбер. Простейший пример оператора на метрическом графе — оператор Лапласа. Оператор на ребре — это $-\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{x}_e^2}$, где $x_e$ — координата ребра. Для обеспечения самосопряжённости оператора необходимо подобрать подходящую область значений, обычно для этого выбирается пространство Соболева $H^2$ функций на рёбрах графа и соответствующие граничные условия на вершинах.

Простейший пример условий, обеспечивающих самосопряженность — граничные условия Дирихле $f_e(0)=f_e(L_e)=0$ для каждого ребра. Собственные функции на конечных рёбрах могут быть записаны как:

$f_e(x_e)=\sin \left(\frac{n\pi x_e}{L_e}\right)$

для целого $n$. Если в графе нет открытых рёбер и длины рёбер несоизмеримы над рациональными числами, тогда носитель собственной функции лежит на одном ребре графа, и собственные значения равны $\frac{n^2{\pi }^2}{L_e^2}$. Условия Дирихле не позволяют учитывать взаимодействие между интервалами на ребрах, так что спектр такой же, что и на множестве независимых (несоединённых) рёбер.

Более интересными самосопряжёнными граничными условиями, позволяющими учитывать взаимодействие между рёбрами, являются граничные условия Неймана или естественные граничные условия. Функция $f$ в области определения оператора непрерывна всюду на графе и сумма исходящих производных в каждой вершине равна нулю:

$\sum _{e\sim v}{f}^{\prime }(v)=0$,

где $f^{\prime }(v)=f^{\prime }(0)$, если вершина $v$ соответствует $x=0$, и $f^{\prime }(v)=-f^{\prime }(L_e)$, если $v$ соответствует $x=L_e$.

Также изучены свойства других операторов на метрических графах, например, более общий класс операторов Шрёдингера:

${(i\frac{\text{d}}{\text{d}{x}_e}+A_e(x_e))}^2+V_e(x_e)$,

где $A_e$ — «магнитный векторный потенциал» на ребре, $V_e$ — скалярный потенциал.

Другим примером является оператор Дирака на графе, который является матричным оператором, действующим на вектор-функциях, описывающих квантовую механику частиц с собственным моментом импульса равным $1/2$ (например, электрон). Оператор Дирихле — фон Неймана на графе — псевдодифференциальный оператор, который возникает при изучении фотонных кристаллов.

Основные результаты

Все самосопряженные граничные условия оператора Лапласа на графе можно классифицировать по схеме Кострикина и Шрадера. На практике, часто удобнее использовать предложенный Кучментом в 2004 году формализм, который позволяет сразу получить оператор в вариационной форме.

Пусть $v$ это вершина с $d$ выходящими рёбрами. Для удобства выберем координаты на рёбрах так, чтобы $v$ соответствовала $x_e=0$ для каждого ребра инцидентного $v$. Для функции $f$ на графе:

$𝐟=(f_{e_1}(0),f_{e_2}(0),\dots ,f_{e_d}(0){)}^T,{𝐟}^{\prime }=(f{\text{'}}_{e_1}(0),f{\text{'}}_{e_2}(0),\dots ,f{\text{'}}_{e_d}(0){)}^T$,

граничные условия на $v$ могут быть заданы парой матриц $A$ и $B$ с помощью матричного уравнения:

$A𝐟+B{𝐟}^{\prime }=\mathrm{𝟎}$.

Граничные условия задают самосопряжённый оператор, если $(A,B)$ имеет максимальный ранг $d$ и $A{B}^{*}=B{A}^{*}$.

Спектр оператора Лапласа на конечном графе может быть описан с помощью матрицы рассеивания.

Собственные значения на ребре заданы:

$-\frac{d^2}{d{x}_e^2}{f}_e(x_e)=k^2{f}_e(x_e).$

Решение на ребре может быть представлено линейной комбинацией плоских волн.

$f_e(x_e)=c_e{\text{e}}^{ik{x}_e}+{\hat{c}}_e{\text{e}}^{-ik{x}_e}$,

где в нестационарном уравнении Шрёдингера $c$ — коэффициент выходящей плоской волны в $0$, $\hat{c}$ — коэффициент входящей плоской волны в $0$. Граничные условия на $v$ определяют матрицу рассеивания:

Матрица рассеивания устанавливает отношение между векторами коэффициентов входящих и выходящих плоских волн на $v$, $𝐜=S(k)\widehat{𝐜}$. Для самосопряжённых граничных условий матрица $S$ унитарна. Элемент ${\sigma }_{(uv)(vw)}$ матрицы $S$ есть комплексная амплитуда перехода из направленного ребра $(uv)$ на ребро $(vw)$, которое в общем случае зависит от $k$. Однако для большого класса граничных условий матрица $S$ независима от $k$. Например, с граничными условиями Неймана

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 0& \dots \\ 0& 1& -1& 0& \dots \\ & & \ddots & \ddots & \\ 0& \dots & 0& 1& -1\\ 0& \dots & 0& 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\\ 1& 1& \dots & 1\end{array}\right).$,

подстановка $A$ и $B$ в уравнение Шаблон:Eqref для $S$ даёт независимые от $k$ уравнения для амплитуд переходов

${\sigma }_{(uv)(vw)}=\frac{2}{d}-{\delta }_{uw}.$

где ${\delta }_{uw}$ — дельта функция Кронекера. По уравнениям для амплитуд переходов можно задать $2|E|\times 2|E|$ матрицу

$U_{(uv)(lm)}(k)={\delta }_{vl}{\sigma }_{(uv)(vm)}(k){\text{e}}^{ik{L}_{(uv)}}.$

Матрицу $U$ называют матрицой рассеяния на рёбрах и её можно представлять себе как оператор квантовой эволюции на графе. $U$ унитарный оператор и действует на векторе $2|E|$ коэффициентов плоских волн для графа, где $c_{(uv)}$ — коэффициент плоской волны, переходящей с $u$ на $v$. При распространении плоской волны от вершины $u$ к вершине $v$, она получает фазу, равную ${\text{e}}^{ik{L}_{(uv)}}$.

Условие квантования: Собственная функция на графе может быть определена через её $2|E|$ соответствующих коэффициентов плоских волн. Так как собственная функция стационарна при квантовой эволюции, условие квантования для графа может быть описано используя оператор эволюции

$|U(k)-I|=0.$

Собственные значения $k_j$ возникают при таких $k$, при которых матрица $U(k)$ имеет собственное значение равное единице. Упорядочим спектр $0⩽k_0⩽k_1⩽\dots$.

Первая формула следа для графа была выведена Ротом (1983). В 1997 Коттос и Смилански использовали условие квантования, приведенное выше, чтобы получить следующую формулу следа для оператора Лапласа на графе, когда амплитуды переходов независимы от $k$. Формула следа устанавливает связь между спектором и периодическими орбитами графа.

$d(k):=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\delta (k-k_j)=\frac{L}{\pi }+\frac{1}{\pi }\sum _p\frac{L_p}{r_p}{A}_p\cos (k{L}_p).$

$d(k)$ называется плотностью состояний. Правая часть формулы состоит из двух частей: гладкая часть (часть Вейля) $\frac{L}{\pi }$ — среднее разделяющее собственных значений, и осциллирующая часть — сумма по всем периодическим орбитам $p=(e_1,e_2,\dots ,e_n)$ на графе. $L_p=\sum _{e\in p}{L}_e$ — длина орбиты и $L=\sum _{e\in E}{L}_e$ — полная длина графа. Для орбиты, порождённой повторением более короткой примитивной орбиты, $r_p$ считает число перераспределений. $A_p={\sigma }_{e_1{e}_2}{\sigma }_{e_2{e}_3}\dots {\sigma }_{e_n{e}_1}$ произведение амплитуд переходов в вершинах графа на орбите.

Приложения

Молекула нафталина

Квантовые графы были впервые использованы Полингом для моделирования спектра свободных электронов в таких органических молекулах как нафталин ещё в 1930-х годах. В первом приближении атомы моделируются вершинами, а $\sigma$-электроны — ребрами, которые описывают структуру молекулы, к которой привязаны электроны.

Сходная проблема возникает при изучении квантовых волноводов, являющихся мезоскопическими системами — системами, размеры которых исчисляются в нанометрах. Квантовый волновод может быть представлен как утолщённый граф, в котором рёбра — тонкие трубки. Спектр оператора Лапласа на таком волноводе, при выполнении некоторых условий, сходится к спектру оператора Лапласа на графе. Понимание мезоскопических систем играет важную роль в области нанотехнологий.

В 1997 году было предложено использовать квантовые графы в качестве моделей при изучении квантового хаоса. Классическое движение на графе может быть определено как вероятностная цепь Маркова, где вероятность рассеивания от ребра $e$ к ребру $f$ равна абсолютной величине квадрата амплитуды квантового перехода $|{\sigma }_{ef}{|}^2$. Для почти всех конечных связных квантовых графов вероятностная динамика эргодична и является перемешивающей, другими словами она хаотична.

Квантовые графы, вложенные в 2- или 3-мерное пространство, возникают при изучении фотонных кристаллов. В двумерном пространстве простая модель фотонного кристалла состоит из многоугольных клеток плотного диэлектрика с узкими переходами между клетками, заполненными воздухом. Изучение основных состояний диэлектриков приводит к псевдодифференциальным операторам на графе, который соответствует узким переходам.

Периодические квантовые графы, такие как, например, решётка в ${ℝ}^2$, используются в качестве моделей для периодических системШаблон:Уточнить. Также квантовые графы были использованы для изучения феномена перехода Андерсона, где локализованные состояния возникают на рёбрах спектральных полос при наличии неупорядоченности.

Литература

• Шаблон:Книга
• Jens Bolte and Sebastian Endres Trace formulae for quantum graphs Шаблон:Wayback, стр. 247
• J. M. Harrison Quantum graphs with spin Hamiltonians Шаблон:Wayback, стр. 261
• J. P. Keating Quantum graphs and quantum chaos, стр. 279
• Peter Kuchment Quantum graphs: an introduction and a brief survey Шаблон:Wayback, стр. 291
• Шаблон:Cite journal