Комплекс Вьеториса — Рипса
Комплекс Вьеториса — Рипса, называемый также комплексом Вьеториса или Комплексом Рипса − способ образования топологического пространства из расстояний в множестве точек. Это Шаблон:Нп5, который может быть определён из любого метрического пространства M и расстояния путём образования симплекса для любого конечного множества точек, имеющего диаметр, не превосходящий . То есть это семейство конечных подмножеств метрического пространства M, под которым понимается подмножество из k точек как (k−1)-мерный симплекс (ребро для двух точек, треугольник для трёх, тетраэдр для четырёх и т.д.). Если же конечное множество S обладает свойством, при котором расстояние между любой парой точек в S не превосходит , то S включается в качестве симплекса в комплекс.
История
Комплекс Вьеториса — Рипса первоначально назывался комплексом Вьеториса в честь Леопольда Вьеториса, который ввёл его как средство расширения теории гомологий из симплициальных комплексов метрических пространствШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. После того, как Илья Аронович Рипс употребил некоторые комплексы для изучения гиперболических групп, их применения популяризировал Михаил Леонидович ГромовШаблон:Sfn, который назвал их комплексами РипсаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Название «Комплекс Вьеториса — Рипса» принадлежит ХаусмануШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Связь с комплексами Чеха
Комплекс Вьеториса — Рипса тесно связан с комплексом Чеха (или нервом) множества шаров, который имеет симплекс для любого конечного подмножества шаров с ненулевым пересечением. В Шаблон:Нп5 Y комплекс Вьеториса — Рипса любого подпространства для расстояния имеет те же самые точки и рёбра, что и комплекс Чеха множества шаров радиуса в Y, имеющих центры в точках множества X. Однако, в отличие от комплекса Чеха, комплекс Вьеториса — Рипса для X зависит только от внутренней геометрии X, а не от какого-либо вложения X в некоторое большее пространство.
Как пример, рассмотрим однородное метрическое пространство M3, состоящее из трёх точек, каждая из которых находится на расстоянии единицы от других. Комплекс Вьеториса — Рипса для M3 для включает симплекс для любого подмножества точек из M3, включая сам треугольник M3. Если мы вложим M3 как правильный треугольник в евклидову плоскость, то комплекс Чеха шаров радиуса 1/2 с центрами в точках M3 будет содержать все остальные симплексы комплекса Вьеториса — Рипса, но не будет содержать треугольник, поскольку нет точки на плоскости, принадлежащей всем трём шарам. Однако, если M3 вместо этого вложено в метрическое пространство, которое содержит четвёртую точку на расстоянии 1/2 от каждой точки M3, комплекс Чеха для шаров радиуса 1/2 в этом пространстве будет содержать треугольник. Таким образом, комплекс Чеха для фиксированного радиуса шаров с центрами M3 зависит от пространства, в которое M3 может быть вложено, в то время как комплекс Вьеториса — Рипса остаётся неизменным
Если метрическое пространство X вложено в инъективное метрическое пространство Y, Комплекс Вьеториса — Рипса для расстояния и множества X совпадает с комплексом Чеха шаров радиуса , имеющих центры в точках X в Y. Таким образом, комплекс Вьеториса — Рипса любого метрического пространства M равен комплексу Чеха системы шаров в инъективной оболочке пространства M.
Связь с графами единичных кругов и кликовыми комплексами
Комплекс Вьеториса — Рипса для содержит ребро для любой пары точек, которые находятся на единичном или менее расстоянии в заданном метрическом пространстве. А тогда его Шаблон:Нп5 — это граф единичных кругов его точек. Он содержит симплекс для любой клики в графе единичных кругов, так что он является флаговым комплексом (или кликовым комплексом) графа единичных круговШаблон:Sfn. Более обще, кликовый комплекс любого графа G является комплексом Вьеториса — Рипса для метрического пространства, имеющего в качестве точек вершины графа G и имеющего в качестве расстояния длины кратчайших путей в G.
Другие результаты
Если M — замкнутое риманово многообразие, то для достаточно малых значений комплекс Вьеториса — Рипса для M или пространства, достаточно близкие к M, гомотопически эквивалентны самому MШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Чамберс, Эриксон и ВораШаблон:Sfn описали эффективные алгоритмы определения, стягивается ли данный цикл в комплексе Рипса любого конечного множества на евклидовой плоскости.
Приложения
Как и в случае единичных дисковых графов, комплекс Вьеториса — Рипса применяется в информатике для моделирования топологии беспроводных ad-hoc-сетей. Одним из преимуществ комплекса Вьеториса — Рипса в этом приложении является то, что он может быть задан исходя лишь из расстояний между взаимодействующими узлами без необходимости знания их физического местоположения. Недостатком является то, что в отличие от комплекса Чеха, комплекс Вьеториса — Рипса не обеспечивает непосредственно информацию о дырах в коммуникационном покрытии, но этот недостаток можно уменьшить путём размещения комплекса Чеха между двумя комплексами Вьеториса — Рипса для различных значений Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Имплементацию комплексов Вьеториса — Рипса можно найти в R пакете TDAstatsШаблон:Sfn.
Комплексы Вьеториса — Рипса применяются также для выделения признаков в изображениях. В этом приложении комплекс строится в метрическом пространстве высокой размерности, в котором точки представляют признаки изображения низкого порядка Шаблон:Sfn.