Конечномерный оператор

Конечномерный оператор — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, множество значений которого конечномерно.Шаблон:Sfn

Примеры

• Любой линейный оператор, действующий в конечномерном пространстве, является конечномерным.
• Интегральный оператор Фредгольма $(Af)(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)f(t)dt,$ действующий в пространстве $L_2[a,b]$, с вырожденным ядром $K(x,t)=\sum _{i=1}^N{f}_i(x)g_i(x)$ является конечномернымШаблон:Sfn. Действительно, его множество значений состоит из функций вида $(Af)(x)=\sum _{i=1}^N{c}_i{f}_i(x)$, где $c_i=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)g_i(t)dt$. Это конечномерное пространство с базисом $\{f_i{\}}_{i=1}^N$, если системы функций $\{f_i{\}}_{i=1}^N$ и $\{g_i{\}}_{i=1}^N$ линейно независимы.
• Частичные суммы ряда Фурье $P_{n}f=\sum _{i=1}^n(f,{\phi }_i){\phi }_i$ по ортогональной системе $\{{\phi }_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ в гильбертовом пространстве являются конечномерными операторамиШаблон:Sfn.

Вполне непрерывный оператор

Шаблон:Main Обобщением конечномерных операторов являются вполне непрерывные операторы, представляющие собой пределы последовательностей конечномерных операторов, сходящихся по норме. К вполне непрерывным операторам применима альтернатива Фредгольма, дающая развитие методов линейной алгебры для решения операторных уравнений.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга