Космологическое уравнение состояния

Космологическое уравнение состояния (уравнение состояния космологической модели) — зависимость давления от плотности энергии определённой среды. В космологии принимают, что давление $P$ зависит линейно от плотности энергии $\epsilon$: $P=w\epsilon .$ Уравнение состояния определяет, как со временем происходит расширение Вселенной и изменение плотности энергии самой среды. Для нерелятивисткого вещества безразмерные коэффициент пропорциональности $w_m=0,$ для излучения и релятивистских частиц $w_r=1/3.$ Среда с уравнением состояния, для которого $w<-1/3$ приводит к ускорению расширения Вселенной и называется тёмной энергией; наиболее общепринятым вариантом тёмной энергии является космологическая постоянная с $w_{\mathrm{\Lambda }}=-1.$

Описание

Уравнения состояния в общем виде могут иметь сложный вид, но поскольку космология обычно имеет дело с разреженными средами, то зависимость давления $P$ от плотности энергии $\epsilon$ представляют в линейном виде: $P=w\epsilon$, где $w$ ― безразмерная величинаШаблон:Sfn.

Уравнение состояния различных сред во Вселенной и их плотность — параметры, от которых зависит расширение Вселенной. Его можно описать следующими уравнениямиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Уравнение Фридмана:

${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3c^2}\epsilon -\frac{\kappa c^2}{R^2{a}^2}$

Закон сохранения:

$\dot{\epsilon }+3\frac{\dot{a}}{a}(\epsilon +P)=0$

Уравнение ускорения:

$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3c^2}(\epsilon +3P)$

Третье уравнение выводится из первых двух, так что в этой системе два независимых уравненияШаблон:Sfn. В этих уравнениях $a$ — масштабный коэффициент ― величина, описывающая расширение или сжатие Вселенной, $G$ — гравитационная постоянная, $c$ — скорость света, $\kappa$ — кривизна Вселенной (принимает значения $0$ для плоского пространства, $+1$ для пространства с положительной кривизной и $-1$ с отрицательной), $R$ ― радиус кривизны Вселенной. Точка или две точки над символом означает, соответственно, производную по времени или производную второго порядка по времениШаблон:Sfn.

В этих уравнениях три неизвестных функции от времени: $a(t)$, $\epsilon (t)$, $P(t)$. Уравнение состояния даёт связь между двумя последними неизвестными, что позволяет решить систему уравнений. От его типа зависит вид решения. Например, у сред с различными коэффициентами $w$ плотность энергии при расширении Вселенной меняется по-разному: из закона сохранения можно получить соотношение $\epsilon \propto a^{-3-3w}.$ При этом среды с различными уравнениями состояния могут сосуществовать одновременно: если между ними не происходит обмен энергией, то при расширении Вселенной плотность энергии каждой из сред меняется независимо от остальныхШаблон:Sfn. Для Вселенной с нулевой кривизной, содержащей только среду с определённым уравнением состояния, функция $a(t)$ также будет зависеть от $w$Шаблон:Sfn:

$a(t)={\left(\frac{t}{t_0}\right)}^{\frac{2}{3+3w}},$

где $t_0$ — возраст Вселенной в данный момент. Для такой однокомпонентной Вселенной возраст можно выразить через $w$ и постоянную Хаббла $H_0=\dot{a}/a$ в момент $t_0$Шаблон:Sfn:

$t_0=\frac{2}{3(1+w)}{H}_0^{-1}.$

В этом же случае плотность энергии меняется со временем как $\epsilon (t)=(t/t_0{)}^{-2},$ независимо от $w$. Приведённые формулы справедливы для $w\ne -1$Шаблон:Sfn.

Можно рассмотреть обычное нерелятивистское вещество. Давление в нём пренебрежимо мало по сравнению с плотностью энергии (см. нижеШаблон:Переход), так что $w=0$. Если вся Вселенная состоит из обычного вещества, то при расширении Вселенной и росте $a$ плотность энергии такого вещества уменьшается, как следует из закона сохранения. Уравнение ускорения показывает, что $\ddot{a}/a<0,$ то есть, расширение Вселенной замедляется — это можно упрощённо интерпретировать как простое следствие гравитационного взаимодействия, которое замедляет разлёт частиц. Если же представить $w<-1/3$, то это будет означать, что при положительной плотности энергии, наоборот, Вселенная расширяется ускоренно ― это случай тёмной энергии (см. нижеШаблон:Переход)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Уравнения состояния различных сред

Сценарии дальнейшего развития Вселенной в зависимости от плотности материи ${\mathrm{\Omega }}_m$ и космологической постоянной ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$. Разноцветные закрашенные области обозначают ограничения на параметры, задаваемые различными наблюдательными данными: реальная величина параметров должна находиться на их пересечении или поблизости

Материя

В качестве примера можно рассмотреть разреженный газ, состоящий из нерелятивистских частиц. Уравнение состояния идеального газа обычно записывают в следующем видеШаблон:Sfn:

$P=\frac{\rho }{\mu }kT,$

где $\rho$ — массовая плотность, $\mu$ — молярная масса газа, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — температура. Чтобы перейти к выражению давления через плотность энергии, нужно учесть, что у нерелятивистского газа энергия практически равна энергии покоя, так что $\epsilon \approx \rho c^2.$ Тогда можно записатьШаблон:Sfn:

$P\approx \frac{kT}{\mu c^2}\epsilon .$

Поскольку газ нерелятивистский, то для среднеквадратичной скорости его частиц $⟨v^2⟩$ верно соотношение $3kT=\mu ⟨v^2⟩$, где предполагается $⟨v^2⟩\ll c^2.$ Уравнение состояния можно привести к виду $P=w_m\epsilon ,$ гдеШаблон:Sfn:

$w_m\approx \frac{⟨v^2⟩}{3c^2}\ll 1.$

Таким образом, для нерелятивистского вещества можно считать $w_m=0.$ Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть холодной материей, либо просто материей, противопоставляя ей излучение (см. нижеШаблон:Переход). К ней относится не только нерелятивистское барионное вещество, сейчас составляющее 4,8 % критической плотности Вселенной, но и холодная тёмная материя — принятый в стандартной модели ΛCDM вид тёмной материи, которая составляет 26 % критической плотности и имеет неизвестную природуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Для частично релятивистского вещества, у которого $0<⟨v^2⟩<c^2,$ $w$ будет находиться в диапазоне от 0 до 1/3Шаблон:Sfn.

Излучение

Уравнение состояния для фотонов, а также для релятивистского газа записывается в видеШаблон:Sfn:

$P\approx \frac{1}{3}\epsilon .$

Соответственно, $w_r=1/3.$ Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть горячей материей, либо излучением. В современной Вселенной плотность излучения очень мала: фотоны, в основном относящиеся к реликтовому излучению, составляют 5,4Шаблон:E критической плотности, а релятивистские нейтрино ― 3,6Шаблон:E критической плотности. Из-за такого уравнения состояния плотность излучения убывает с расширением Вселенной как ${\epsilon }_r\propto a^{-4},$ что быстрее, чем убывание плотности материи как ${\epsilon }_m\propto a^{-3}.$ Плотности материи и излучения были равны, когда Вселенной было 50 миллионов лет ― сейчас её возраст составляет 13,7 миллиардов летШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Более быстрый спад плотности энергии излучения при расширении Вселенной можно интерпретировать следующим образом. Концентрация $n$ и для фотонов, и для нерелятивистских частиц меняется с масштабным коэффициентом как $n\propto a^{-3}.$ Для нерелятивистских частиц, энергия которых практически полностью обусловлена энергией покоя, такую же пропорциональность имеет и плотность энергии. Энергию фотона $E$ можно выразить через его длину волны $\lambda$: $E=hc/\lambda ,$ где $h$ — постоянная Планка. Поскольку длина волны фотона увеличивается вместе с расширением Вселенной — $\lambda \propto a$, то для фотонов ${\epsilon }_r=nE=n(hc/\lambda )\propto a^{-3}{a}^{-1}=a^{-4}$Шаблон:Sfn.

Кривизна пространства

Кривизну пространства также можно представить в виде составляющей Вселенной и использовать плотность кривизны в уравнениях, описывающих расширение Вселенной. Для кривизны $w_K=-1/3$ и ${\epsilon }_K\propto a^{-2}.$ Плотность кривизны точно определяется через радиус кривизны:

${\epsilon }_K=-\frac{3}{8\pi G{a}^2{R}^2}.$

Наблюдения показывают, что наша Вселенная практически плоская, с радиусом кривизны гораздо большим, чем радиус горизонта, и плотность кривизны считают нулевойШаблон:Sfn.

Тёмная энергия

Различные среды с уравнениями состояния, для которых $w<-1/3$, называют тёмной энергией. Особенность такого уравнения состояния в том, что при положительной плотности тёмной энергии уравнение ускорения даёт $\ddot{a}/a>0,$ что означает ускоренное расширение Вселенной. Тёмная энергия имеет неизвестную природу, но поскольку ускоренное расширение Вселенной наблюдается в действительности, тёмная энергия — необходимая составляющая ВселеннойШаблон:Sfn.

Наиболее общепринятый вариант тёмной энергии — космологическая постоянная (лямбда-член) с $w_{\mathrm{\Lambda }}=-1.$ При таком уравнении состояния плотность тёмной энергии остаётся постоянной при расширении Вселенной, поэтому космологическую постоянную также интерпретируют как энергию вакуума. Плоская Вселенная, в которой доминирует космологическая постоянная, будет расширяться экспоненциально: $a(t)=e^{H_0(t-t_0)}$Шаблон:Sfn.

В модели ΛCDM используется именно этот вид тёмной энергии, её плотность составляет 69 % критической плотности. В возрасте Вселенной в 10,2 миллиарда лет доли материи и космологической постоянной во Вселенной были равны. Кроме того, космологическая постоянная — исторически первый рассмотренный вид тёмной энергии: первоначально Альберт Эйнштейн ввёл его для построения модели Шаблон:Нп3 в 1917 годуШаблон:Sfn.

Тем не менее, не исключены и другие уравнения состояния тёмной энергии. Например, возможный вариант тёмной энергии с $w<-1$ называется фантомной энергией — при расширении её плотность энергии возрастает. Если в расширяющейся Вселенной присутствует фантомная энергия, то её плотность рано или поздно будет превышать плотность энергии любых гравитационно связанных систем и других тел, что приведёт к их разрушению, а масштабный коэффициент достигнет бесконечности за конечное время — это сценарий Большого разрываШаблон:Sfn.

Также не исключена и возможность того, что $w$ тёмной энергии меняется со временем — подобный вид тёмной энергии называют квинтэссенцией.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга