Модель Хестона

В финансовой математике, модель Хестона — это математическая модель, предложенная Стивеном Хестоном, которая описывает совместную динамику цены базового актива и его волатильности. Поведение волатильности предполагается стохастичным: волатильность актива не только не является постоянным параметром модели, но изменяется согласно определённому случайному процессу.

Базовая модель Хестона

Базовая модель Хестона предполагает, что S_t, цена актива, определяется стохастическим процессом:

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sqrt{{\nu }_t}{S}_{t}d{W}_t^S$

где ${\nu }_t$, мгновенная дисперсия, задаётся процессом CIR:

$d{\nu }_t=\kappa (\theta -{\nu }_t)dt+\xi \sqrt{{\nu }_t}d{W}_t^{\nu }$

а $d{W}_t^S,d{W}_t^{\nu }$ — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ, или, эквивалентно, с ковариацией ρ dt.

Параметры, использованные выше, имеют следующий смысл:

• μ — частота возвращения актива.
• θ — длинная дисперсий, или длинное средние дисперсии цены; при стремлении t к бесконечности, ожидаемое значение ν_t стремится к θ.
• κ — частота, с которой ν_t возвращается к θ.
• ξ — волатильность волатильности; как и предполагает название, она определяет дисперсию ν_t.

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), тогда процесс ${\nu }_t$ строго положителен

$2{\kappa }_t\theta \ge {\xi }^2.$

Обобщения

Для того, чтобы принять во внимание все свойства профиля волатильности, модель Хестона не является достаточно гибкой. Может быть необходимо добавить к ней дополнительные степени свободы.

Первое прямое обобщение это позволить параметрам зависеть от времени. Тогда динамика модели имеет вид:

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sqrt{{\nu }_t}{S}_{t}d{W}_t^S.$

Здесь ${\nu }_t$, мгновенная дисперсия, задаётся зависящим от времени процессом CIR:

$d{\nu }_t={\kappa }_t({\theta }_t-{\nu }_t)dt+{\xi }_t\sqrt{{\nu }_t}d{W}_t^{\nu }$

а $d{W}_t^S,d{W}_t^{\nu }$ — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ. Для того, чтобы сохранить трактовку модели необходимо потребовать, чтобы параметры были кусочно-постоянными.

Другой подход состоит в добавлении второго процесса с независимой от первого дисперсией.

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sqrt{{\nu }_t^1}{S}_{t}d{W}_t^{S,1}+\sqrt{{\nu }_t^2}{S}_{t}d{W}_t^{S,2}$

$d{\nu }_t^1={\kappa }^1({\theta }^1-{\nu }_t^1)dt+{\xi }^1\sqrt{{\nu }_t^1}d{W}_t^{{\nu }^1}$

$d{\nu }_t^2={\kappa }^2({\theta }^2-{\nu }_t^2)dt+{\xi }^2\sqrt{{\nu }_t^2}d{W}_t^{{\nu }^2}$

Существенное обобщение модели Хестона, делающее стохастически не только волатильность, но и среднее было предложено Лин Ченом (1996). В модели Чена динамика мгновенной процентной ставки устанавливается формулами:

$d{r}_t=({\theta }_t-r_t)dt+\sqrt{r_t}{\sigma }_{t}d{W}_t,$

$d{\alpha }_t=({\zeta }_t-{\alpha }_t)dt+\sqrt{{\alpha }_t}{\sigma }_{t}d{W}_t,$

$d{\sigma }_t=({\beta }_t-{\sigma }_t)dt+\sqrt{{\sigma }_t}{\eta }_{t}d{W}_t.$

Реализация

Тонкости реализации модели Хестона с правильным учётом числа оборотов вокруг начала координат в комплексной плоскости для функции комплексного логарифма, составляющего часть решения для цены опциона, было впервые приведено в статье Кристиана Кала и Петера Якеля.

Информация о том, как использовать преобразование Фурье для оценки опционов приведено в статье Питера Карра и Дилипа Мадана.

Обобщение модели Хестона со случайными процентными ставками приведено в статье Гржелака и Остерли.

Вывод замкнутого решения для цен опционов для зависящей от времени модели Хестона приведён в статье Гобе и др.

Вывод замкнутого решения для цен опционов для двойной модели Хестона приведён в статьях Кристоферсена и Готье.

См. также

• Стохастическая волатильность
• Нейтральная к риску мера (другое название: эквивалентная мартингальная мера)
• Теорема Гирсанова
• Мартингал
• Модель волатильности SABR