Открыто-замкнутое множество

Открыто-замкнутое множество — множество топологического пространства, которое является одновременно замкнутым и открытым.

Множество является открыто-замкнутым, если оно совпадает со своими внутренностью и замыканием.

Топологическое пространство $X$ является связным, если и только если единственными замкнутыми и открытыми множествами являются пустое множество и само $X$. Множество открыто-замкнуто, если и только если его граница пуста. Любое открыто-замкнутое множество является объединением (возможно, бесконечного числа) связных компонент. Топологическое пространство $X$ является дискретным, если и только если все его подмножества открыто-замкнуты.

Если использовать объединение и пересечение в качестве операций, то открыто-замкнутые подмножества данного топологического пространства $X$ образуют булеву алгебру. Каждая булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства (теорема Стоуна о представлении булевых алгебр).

Примеры

В любом топологическом пространстве $X$ пустое множество и всё пространство $X$ являются открыто-замкнутыми множествами.

В пространстве $(a,b)\cup (a^{\prime },b^{\prime })$ ($a⩽b⩽a^{\prime }⩽b^{\prime }\in ℝ$) с естественной топологией вещественной прямой интервалы $(a,b)$ и $(a^{\prime },b^{\prime })$ одновременно открыты и замкнуты; это типичный пример: когда пространство состоит из конечного числа дискретных связных компонент, компоненты оказываются открыто-замкнутыми.

Если $X$ — бесконечное множество с метрикой $d_X$, введённой на нём следующим образом:

$d_X(p,q)=\{\begin{array}{c}1,p\ne q\\ 0,p=q\end{array}$,

то любое одиночное множество в метрическом пространстве $(X,d_X)$ — синглетон — открыто, следовательно, любое множество, будучи объединением синглетонов, также открыто, то есть все множества в таком пространстве открыто-замнктуы.

В пространство $\mathbb{Q}$ всех рациональных чисел с их естественной топологией и множеством $A=\{q\in \mathbb{Q}\mid q>\sqrt{2}\}$, используя тот факт, что $\sqrt{2}$ не принадлежит $\mathbb{Q}$, можно показать, что $A$ является открыто-замкнутым в $\mathbb{Q}$ подмножеством (при этом $A$ не является открыто-замкнутым подмножеством вещественной прямой $ℝ$ — оно ни открыто, ни замкнуто в $ℝ$).

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга