Разбиение Хегора

Триангуляция трёхмерной сферы и её разбиение на два полнотория.

Разбиение Хегора — разбиение компактного ориентированного трёхмерного многообразия на два тела с ручками.

Названо в честь Шаблон:Iw, который положил начало изучению таких разбиений в 1898 году.

Конструкция

Для любого компактного трёхмерного многообразия $M$ существует поверхность $S$, разрезающая $M$ на два тела с ручками, то есть на многообразия, гомеоморфные замкнутой области евклидова пространства, ограниченной поверхностью.

Род поверхности $S$ называется родом разбиения. Разбиение $M$ называется минимальным, если $M$ не допускает разбиения меньшего рода. Минимальное значение рода поверхности называется родом Хегора многообразия $M$.

Примеры

• Трёхмерная сфера $S^3$ допускает разбиение Хегора рода ноль. Иначе говоря, 2-мерная сфера разрезает $S^3$ на два шара.
  • Более того, все многообразия, допускающие разбиение Хегора рода ноль, гомеоморфны $S^3$.
• Вложенный тор разбивает сферу на два полнотория, это даёт другое разбиение Хегора $S^3$ рода 1. (См. также расслоение Хопфа.)
• Линзовые пространства допускают разбиение Хегора рода один. Иначе говоря, любое линзовое пространство можно разрезать тором на два полнотория.

Свойства

• Лемма Александера: с точностью до изотопии, существует единственное (кусочно-линейное) вложение двумерной сферы в трёхмерную сферу.
  • Эту теорему можно переформулировать следующим образом: трёхмерная сфера  $S^3$ допускает единственное разбиение Хегора рода ноль.
• Теорема Вальдхаузена: каждое разбиение $S^3$ получается из разбиения рода ноль путём операции связной суммы с разбиением сферы рода 1.
• Теорема Райдемейстера — Зингера: для любой пары разбиений $H_1$ и $H_2$ многообразия $M$ существует третье разбиение $H$, которое является стабилизацией обоих. То есть $H$ можно получить из $H_1$ и $H_2$ путём взятия связной суммы с разбиением $S^3$ рода 1.
• Любая минимальная поверхность в трёхмерном римановом многообразии положительной кривизны задаёт разложение Хегора.

Литература

• Математическая энциклопедия. М.: 197* — 1985, том 5, стр.780. (Разбиение Хегора.)
• Фоменко, А.Т. Геометрия и топология. Наглядная геометрия и топология. М. 1992. (Глава 2. Многообразия малой размерности.)