Разложение на ручки

Трёхмерный шар с тремя присоединёнными ручками.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

$\mathrm{\varnothing }=M_{-1}\subset M_0\subset M_1\subset M_2\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_m=M$

где каждое $M_i$ получается из $M_{i-1}$ путём присоединения $i$-ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.

Предпосылки

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру $S^n$ с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения $\chi :D^n\to S^n$ в окрестности $S^{n-1}$.

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность $N_p$ диффеоморфна $D^m$. Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение $N_p$ и $M\setminus \mathrm{int}(N_p)$, склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в $M\setminus \mathrm{int}(N_p)$, её трубчатая окрестность диффеоморфна $I\times D^{m-1}$. Это позволяет записать $M$ как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

1. $D^m$
2. $I\times D^{m-1}$
3. дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в $M\setminus \mathrm{int}(N_p)$.

Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем $I\times D^{m-1}$ с $D^m$, отношение эквивалентности образуется путём вложения $(\partial I)\times D^{m-1}$ в $\partial D^m$, которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.

Разложения на ручки ввёл Стивен СмейлШаблон:Sfn. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение $f:S^{j-1}\times D^{m-j}$ в $\partial M$. Пусть $H^j=D^j\times D^{m-j}$. Многообразие $M{\cup }_f{H}^j$ (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению $M$ и $H^j$ с отождествлением $S^{j-1}\times D^{m-j}$ с его образом в $\partial M$, то есть:

$M{\cup }_f{H}^j=(M\bigsqcup (D^j\times D^{m-j}))/\sim$

где отношение эквивалентности $\sim$ задаётся как $(p,x)\sim f(p,x)$ для всех $(p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^j\times D^{m-j}$.

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия $M$ определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось $M$ . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.

Терминология

Возьмём объединение M с j-ручкой $H^j$:

$M{\cup }_f{H}^j=(M\bigsqcup (D^j\times D^{m-j}))/\sim$

$f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой)Шаблон:Sfn.

$f$ иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.

$\{0{\}}^j\times S^{m-j-1}\subset D^j\times D^{m-j}=H^j$ является опоясывающей сферой ручки $H^j$ в $M{\cup }_f{H}^j$.

Многообразие, полученное присоединением $g$ копий $k$-ручек к диску $D^m$, является (m, k)-телом с ручками рода g .

Представления кобордизмов

Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где $\partial W=M_0\cup M_1$ и фильтрации

$W_{-1}\subset W_0\subset W_1\subset \cdots \subset W_{m+1}=W$

где $M_0$ и $M_1$ являются $m$-мерными многообразиями, $W$— $m+1$-мерным, $W_{-1}$ диффеоморфно $M_0\times [0,1]$, а $W_i$ получается из $W_{i-1}$ путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

С точки зрения теории Морса

Если задана функция Морса $f:M\to ℝ$ на компактном многообразии M без края, таком что критические точки $\{p_1,\dots ,p_k\}\subset M$ функции $f$ удовлетворяют $f(p_1)<f(p_2)<\cdots <f(p_k)$ и выполняется

$t_0<f(p_1)<t_1<f(p_2)<\cdots <t_{k-1}<f(p_k)<t_k$,

тогда для всех j $f^{-1}[t_{j-1},t_j]$ диффеоморфно $(f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}$, где $I(j)$ — индекс критической точки $p_j$. Индекс $I(j)$ соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства $T_{p_j}M$, где гессиан отрицательно определён.

Если индексы удовлетворяют неравенству $I(1)⩽I(2)⩽\cdots ⩽I(k)$, то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм $W$ с $\partial W=M_0\cup M_1$ и функция $f:W\to ℝ$, которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.

Если $f$ — функция Морса $M$, $-f$ также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.

Некоторые главные теоремы и наблюдения

• Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова $T^1$, а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
• Если присоединить две ручки в последовательности $(M{\cup }_f{H}^i){\cup }_g{H}^j$, можно изменить порядок присоединения, обеспечивая $j⩽i$, то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида $(M\cup H^j)\cup H^i$ для подходящих отображений присоединения.
• Граница $M{\cup }_f{H}^j$ диффеоморфна $\partial M$, разрезанному вдоль оснащённой сферы $f$. Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
• Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из $S^m$ хирургией на наборе оснащённых зацеплений в $S^m$. Например, известно, что любое 3-многообразие является границей 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
• Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Теория [ко]бордизмов
• CW-комплекс
• Тело с ручками
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Статья
  • Статья перепечатана в книге:Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Основная литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга