Разложение простых идеалов в расширениях Галуа

Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов $P$ кольца целых $O_K$ поля алгебраических чисел $K$ в кольце целых $O_L$ расширении Галуа $L/K$ с группой Галуа $G$. Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта.

Определения

Пусть $L/K$ — конечное расширение числового поля, а $O_K$ и $O_L$ — кольца целых чисел $K$ и $L$ соответственно.

$\begin{array}{ccc}{O}_K& \hookrightarrow & O_L\\ \downarrow & & \downarrow \\ K& \hookrightarrow & L\end{array}$

Наконец, пусть $P$ является ненулевым простым идеалом в $O_K$ или, что эквивалентно, максимальным идеалом, так что факторкольцо $O_K/P$ — поле.

Из основ теории одномерного кольца следует существование единственного разложения идеала $P$:

$P=\prod _{j=1}^g{P}_j^{e_j},$

где $P_j$ — различные максимальные идеалы, а $e_j⩾1$ — их кратность.

Поле $F=O_K/P$ естественно вкладывается в $F_j=O_L/P_j$ для каждого $j$, степень $f_j=[O_L/P_j:O_K/P]$ этого расширения поля вычетов называется степенью инерции $P_j$ над $P$.

Показатель $e_j$ называется индексом ветвления $P_j$ над $P$. Если $e_j>1$ для некоторого $j$, то расширение $L/K$ называется разветвленным в $P$ (или мы говорим, что $P$ разветвляется в $L$). В противном случае $L/K$ называется неразветвленным в $P$. Если это так, то по китайской теореме об остатках фактор $O_L/P$ является произведением полей $F_j$. $P$ разветвлён тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант, значит неразветвлено лишь конечное число простых идеалов.

Из мультипликативности нормы идеала вытекает

$[L:K]=\sum _{j=1}^g{e}_j{f}_j.$

Если $f_j=e_j$ для всех $j$ (и, следовательно, $g=[L:K]$), то говорим, что $P$ полностью разлагается в $L$. Если $g=1$ и $f_1=1$ (и поэтому $e_1=[L:K]$), мы говорим, что $P$ полностью разветвляется в $L$. Наконец, если $g=1$ и $e_1=1$ (и поэтому $f_1=[L:K]$), мы говорим, что $P$ инертен в $L$.

Разложение в расширениях Галуа

Пусть $L/K$ является расширением Галуа. Тогда группа Галуа $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ действует транзитивно на $P_j$. То есть простые идеальные множители в разложении $P$ в $L$ образуют единую орбиту при действии автоморфизма $L$ над $K$. Из этого и теореме о единственности факторизации следует, что $f=f_j$ и $e=e_j$ не зависят от $j$. Тогда полученные соотношения принимают вид

$P={\left(\prod _{j=1}^g{P}_j\right)}^e$.

и

$[L:K]=efg.$

Отсюда следует, что $[L:K]/ef=g$ — числу простых коэффициентов $P$ в $O_L$. По формуле числа элементов в орбите $g=|G|/|D_{P_j}|$ для всех $j$, где $D_{P_j}=\{\sigma \in G:\sigma (P_j)=P_j\}$ — стабилизатор $P_j$, называемый группой разложения идеала $P_j$. Так как $[L:K]=|G|$ по базовой теории Галуа, то порядок группы разложения $|D_{P_j}|=ef$ для всех $j$.

Группа разложения содержит нормальную подгруппу $I_{P_j}$, называемую группой инерции $P_j$, состоящую из автоморфизмов $L/K$, которые индуцируют тождественный автоморфизм на $F_j=O_L/P_j$. Другими словами, $I_{P_j}$ является ядром редукционного отображения $D_{P_j}\to \mathrm{Gal}(F_j/F)$. Можно показать, что это отображение является сюръективным, и из этого следует, что $\mathrm{Gal}(F_j/F)\cong D_{P_j}/I_{P_j}$ и $|I_{P_j}|=e$.

Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент $D_{P_j}/I_{P_j}$ для данного $j$, что соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа конечного расширения поля $F_j/F$. В неразветвленном случае порядок $|D_{P_j}|=f$ и $I_{P_j}$ тривиально. Кроме того, элемент Фробениуса в этом случае является элементом $D_{P_j}$ (и, следовательно, также элемент из $G$).

Разложение простых идеалов в полях, которые не являются расширениями Галуа, можно изучать с помощью поля разложения, то есть с помощью расширения Галуа, которое содержит исходное поле, но несколько больше, чем оно. Например, кубическое поле обычно вкладывается в расширение Галуа степени 6.

Пример — целые гауссовы числа

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$. То есть мы берем $K=\mathbb{Q}$ и $L=\mathbb{Q}(i)$, поэтому $O_K=\mathbb{Z}$ и $O_L=\mathbb{Z}[i]$ — кольцо гауссовых целых чисел. Хотя этот случай далек от репрезентативного, поскольку $\mathbb{Z}[i]$ — Факториальное кольцо и конечное небольшое число квадратичных полей с единственным разложением на множители — он показывает многие из особенностей теории.

Обозначим $G$ — группа Галуа $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$, $G=\{1,\sigma \}$, где $\sigma$ — комплексно-сопряженный автоморфизм. Рассмотрим три случая.

Простое p = 2

Простое 2 в $\mathbb{Z}$ разветвляется $\mathbb{Z}[i]$:

$(2)=((1+i{)}^2)$

Индекс ветвления $e=2$. Поле вычетов здесь равно

$O_L/(1+i)O_L\cong {𝔽}_2$

— конечное поле из 2-х элементов. Группа разложения $D_{(1+i)}=G$, так как существует только одно из чисел $\mathbb{Z}[i]$ выше 2. Группа инерции $I_{1+i}=G$, так как

$a+bi\equiv a-bimod1+i$

для всех целых $a,b$

На самом деле, 2 — это единственное простое, которое разветвляется в $\mathbb{Z}[i]$, так как каждое разветвляющееся простое должно делить дискриминант $\mathbb{Z}[i]$, который равен $-4$.

Простые p ≡ 1 mod 4

Любое простое $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ разлагается в произведение двух различных простых идеалов в $\mathbb{Z}[i]$; это фактически теорема Ферма о сумме двух квадратов. Например:

$13=(2+3i)(2-3i)=2^2+3^2$

Обе группы разложения в этом случае тривиальны: $G_{2\pm 3i}\{1\}$, поскольку автоморфизм $\sigma$ переставляет $(2+3i)$ и $(2-3i)$, поэтому $\sigma \in ̸G_{2\pm 3i}$. Группа инерции, также является тривиальной группой как подгруппа группы разложения. Существует два поля вычетов: по одному для каждого простого:

$O_L/(2\pm 3i)O_L$

которые изоморфны ${𝔽}_{13}$. Элемент Фробениуса будет тривиальным автоморфизмом, это означает, что

$(a+bi{)}^{13}\equiv a+bi(\mathrm{mod}2\pm 3i)$

для всех $a,b\in \mathbb{Z}$

Простые p ≡ 3 mod 4

Любое простое $p:p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, например $7$, остается простым, инертным, в $\mathbb{Z}[i]$, то есть не разлагается. В этой ситуации группа разложения $G_7=G$, потому что $\sigma (7)=7$. Однако эта ситуация отличается от случая $p=2$, потому что теперь $\sigma$ не действует тривиально на поле вычетов $O_L/(7)O_L\cong {𝔽}_{7^2}$. Например, $1+i\equiv ̸1-i(\mathrm{mod}7)$. Следовательно, группа инерции тривиальна: $I_7=\{1\}$. Группа Галуа $O_L/(7)O_L$ над подполем $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус — это не что иное, как $\sigma$ это значит, что

$(a+bi{)}^7\equiv a-bimod7$

для всех $a,b\in \mathbb{Z}$

Сводка

Простое в $\mathbb{Z}$	Как разлагается в $\mathbb{Z}[i]$	Группа инерции	Группа разложения
$p=2$	Разветвляется с индексом 2	$G$	$G$
$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$	Разлагается на 2 различных простых множителя	$\{1\}$	$\{1\}$
$p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$	Инертно, остается простым	$\{1\}$	$G$

Вычисление факторизации идеала

Предположим, что мы хотим разложить простой идеал $P$ кольца $O_K$ в простые идеалы кольца $O_L$. Следующая процедура (Neukirch, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число $\theta \in O_L$, такое что $L=K(\theta )$ (такое $\theta$ существует по теореме о примитивном элементе), а затем изучить минимальный многочлен $H(X)$ элемента $\theta$ над $K$. Редуцируя коэффициенты $H(X)$ по модулю $P$, получим многочлен $h(X)$ с коэффициентами из конечного поля $F=O_K/P$. Предположим, что $h(X)$ факторизуется в полиномиальном кольце $F[X]$ как

$h(X)=h_1(X{)}^{e_1}\cdots h_n(X{)}^{e_n},$

где $h_j$ — различные неприводимые многочлены в $F[X]$. Тогда, если $P$ не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), разложение $P$ имеет следующий вид:

$P{O}_L=Q_1^{e_1}\cdots Q_n^{e_n},$

где $Q_j$ — различные простые идеалы $O_L$. Кроме того, степень инерции каждого $Q_j$ равна степени соответствующего многочлена $h_j$, и существует явная формула для $Q_j$:

$Q_j=P{O}_L+h_j(\theta )O_L,$

где $h_j$ обозначает здесь подъём многочлена $h_j$ в $K[X]$.

В случае расширения Галуа степени инерции равны, а индексы ветвления $e_1=...=e_n$.

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не всегда имеет место, являются теми, которые не являются взаимно простыми по отношению к кондуктору кольца $O_K[\theta ]$. Кондуктор определяется как идеал

$\{y\in O_L:y{O}_L\subseteq O_K[\theta ]\};$

он измеряет, насколько порядок $O_K[\theta ]$ является полным кольцом целых чисел (максимальный порядок) $O_L$.

Существенным препятствием является то, что существуют такие $L/K$ и $P$, для которых нет $\theta$, удовлетворяющего вышеприведенным гипотезам (см., например,). Поэтому приведенный выше алгоритм нельзя использовать для определения такого $P$, и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанные в.

Пример расчёта

Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел. Мы возьмем $\theta =i$ — мнимую единицу $H(X)=X^2+1$. Так как $\mathbb{Z}[i]$ — кольцо целых чисел $\mathbb{Q}(i)$, кондуктор является единичным идеалом, поэтому нет исключительных простых чисел.

Для $P=(2)$ нам нужно работать в поле $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, что сводится к разложению многочлена $X^2+1$ по модулю 2:

$X^2+1=(X+1{)}^2(\mathrm{mod}2).$

Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается формулой

$Q=(2)\mathbb{Z}[i]+(i+1)\mathbb{Z}[i]=(1+i)\mathbb{Z}[i].$

Следующий случай для $P=(p)$ для простого $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$. Например, возьмем $P=(7)$. Многочлен $X^2+1$ неприводим по модулю 7. Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 2 и индексом ветвления 1 и он задается формулой

$Q=(7)\mathbb{Z}[i]+(i^2+1)\mathbb{Z}[i]=7\mathbb{Z}[i].$

Последний случай — $P=(p)$ для простого $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; мы снова возьмем $P=(13)$. На этот раз мы имеем разложение

$X^2+1=(X+5)(X-5)(\mathrm{mod}13).$

Поэтому существуют два основных множителя, как с степенью инерции, так и с индексом ветвления равным 1. Они даются выражением

$Q_1=(13)\mathbb{Z}[i]+(i+5)\mathbb{Z}[i]=\cdots =(2+3i)\mathbb{Z}[i]$

and

$Q_2=(13)\mathbb{Z}[i]+(i-5)\mathbb{Z}[i]=\cdots =(2-3i)\mathbb{Z}[i].$

Ссылки

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Литература

• Шаблон:Книга