Дельтаэдры
Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого являются правильными треугольниками. Название взято от греческой заглавной буквы дельта (), которая имеет форму равностороннего треугольника. Существует бесконечно много дельтаэдров, но из них только восемь выпуклы, и они имеют 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 гранейШаблон:Sfn.
Число граней, рёбер и вершин перечислены ниже для каждого из восьми дельтаэдров.
Выпуклые дельтаэдры
Всего существует 8 выпуклых дельтаэдров[1], 3 из которых являются платоновыми телами, а 5 — многогранниками Джонсона.
У дельтаэдра с 6 гранями некоторые вершины имеют степень 3, а некоторые — степень 4. В дельтаэдрах с 10, 12, 14 и 16 гранями некоторые вершины имеют степень 4, а некоторые — степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат классу правильногранных многогранников — выпуклых многогранников с правильными многоугольниками в качестве граней.
Не существует выпуклого дельтаэдра с 18 гранямиШаблон:Sfn. Однако Шаблон:Не переведено 5 даёт пример октаэдра, который либо может быть сделан выпуклым с 18 неправильными гранями, либо с двумя наборами по три равносторонних треугольника, лежащими в одной плоскости.
| Правильные дельтаэдры | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Название | Изображение | Количество вершин |
Количество рёбер |
Количество граней |
Конфигурация вершины |
Группа симметрии |
| Правильный тетраэдр | 
|
4 | 6 | 4 | 4 × 33 | Td, [3,3] |
| Правильный октаэдр (четырёхугольная бипирамида) | 
|
6 | 12 | 8 | 6 × 34 | Oh, [4,3] |
| Правильный икосаэдр | 
|
12 | 30 | 20 | 12 × 35 | Ih, [5,3] |
| Дельтаэдры Джонсона | ||||||
| Треугольная бипирамида | 
|
5 | 9 | 6 | 2 × 33 3 × 34 |
D3h, [3,2] |
| Пятиугольная бипирамида | 
|
7 | 15 | 10 | 5 × 34 2 × 35 |
D5h, [5,2] |
| Плосконосый двуклиноид | 
|
8 | 18 | 12 | 4 × 34 4 × 35 |
D2d, [2,2] |
| Трижды наращённая треугольная призма | 
|
9 | 21 | 14 | 3 × 34 6 × 35 |
D3h, [3,2] |
| Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида | 
|
10 | 24 | 16 | 2 × 34 8 × 35 |
D4d, [4,2] |
Нестрого выпуклые случаи
Существует бесконечно много дельтаэдров с копланарными (лежащими в одной плоскости) треугольниками. Если множества копланарных треугольников считаются одной гранью, можно насчитать меньше граней, рёбер и вершин. Копланарные треугольные грани могут быть слиты в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольные грани. Каждая грань должна быть выпуклым полиамондом, таким как 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
и 
, ...[2]
Некоторые небольшие примеры
Невыпуклые дельтаэдры
Невыпуклых и тороидальных дельтаэдров существует бесконечно много.
Пример дельтаэдра с самопересекающимися гранями
- Большой икосаэдр — тело Кеплера — Пуансо, с 20 пересекающимися треугольниками
Другие невыпуклые дельтаэдры можно получить путём добавления пирамид к граням всех 5 правильных многогранников:
| Файл:5-cell net.png | Файл:Pyramid augmented cube.png | Файл:Stella octangula.png | Файл:Pyramid augmented dodecahedron.png | Файл:Tetrahedra augmented icosahedron.png |
| Триакистетраэдр | Тетракисгексаэдр | Триакисоктаэдр (stella octangula) |
Пентакисдодекаэдр | Триакисикосаэдр |
|---|---|---|---|---|
| 12 треугольников | 24 треугольников | 60 треугольников | ||
Другие наращения тетраэдров:
|
Файл:Triaugmented tetrahedron.png | Файл:Quadaugmented tetrahedron.png |
| 8 треугольников | 10 треугольников | 12 треугольников |
|---|
Также путём добавления к граням перевёрнутых пирамид:
| Ошибка создания миниатюры: Шаблон:Не переведено 5 |
Файл:Toroidal polyhedron.gif Тороидальный дельтаэдр |
| 60 треугольников | 48 треугольников |
|---|
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья (Авторы показали, что существует только 8 выпуклых дельтаэдров. )
- Шаблон:Статья