Тождество Уорда — Такахаши

Тождество Уорда — Такахаши (в квантовой теории поля) — это тождество между корреляционными функциями, которое следует из глобальной или калибровочной симметрии теории и которое выполняется после перенормировки.

Тождество Уорда — Такахаши в квантовой электродинамике (КЭД) первоначально использовалось Джоном Клайвом Уордом и Ясуси Такахаси для того, чтобы связать перенормировку волновой функции электрона с его вершинным коэффициентом перенормировки, гарантируя устранение ультрафиолетовой расходимости во всех порядках теории возмущений. Более поздние варианты использования включают распространение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.

В более общем смысле, тождество Уорда — Такахаши представляет собой квантовую версию классического закона сохранения тока, связанного с непрерывной симметрией по теореме Нётер. Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к появлению этих обобщённых тождеств Уорда — Такахаши, которые налагают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Есть обобщённые соотношения, которые следует отличать при чтении литературы, такой как учебник Майкла Пескина и Дэниела Шредера, от оригинального тождества Уорда — Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается КЭД, абелевой теории, к которой применимо тождество Уорда — Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова — Тейлора.

Тождество Уорда — Такахаши

Тождество Уорда — Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве, которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке. Пусть

$ℳ(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)={ϵ}_{\mu }(k){ℳ}^{\mu }(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)$

— корреляционная функция КЭД, включающая внешний фотон с импульсом k (где ${ϵ}_{\mu }(k)$ — вектор поляризации фотона и подразумевается суммирование по $\mu =0,\dots ,3$), n электронов в начальном состоянии с импульсами $p_1\cdots p_n$, и n электронов конечного состояния с импульсами $q_1\cdots q_n$. Также по определению ${ℳ}_0$ — это более простая амплитуда, полученная удалением фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда тождество Уорда — Такахаши гласит:

$k_{\mu }{ℳ}^{\mu }(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)=e\sum _i[{ℳ}_0(p_1\cdots p_n;q_1\cdots (q_i-k)\cdots q_n)].$

$-{ℳ}_0(p_1\cdots (p_i+k)\cdots p_n;q_1\cdots q_n)]$

где e — заряд электрона имеет отрицательный знак. Обратите внимание, что если $ℳ$ имеет внешние электроны на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеется по одной внешней частице вне оболочки, и поэтому они не вносят вклада в элементы S-матрицы.

Тождество Уорда

Тождество Уорда представляет собой специализацию тождества Уорда — Такахаши на элементах S-матрицы, которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке. Пусть $ℳ(k)={ϵ}_{\mu }(k){ℳ}^{\mu }(k)$ — амплитуда некоторого процесса КЭД с участием внешнего фотона с импульсом $k$, где ${ϵ}_{\mu }(k)$ — вектор поляризации фотона. Затем тождество Уорда гласит:

$k_{\mu }{ℳ}^{\mu }(k)=0$

Физически это тождество означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в ξ-калибровке, нефизична и исчезает из S-матрицы.

Его использование включает ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и электронной вершинной функции в КЭД.

Вывод в формулировке интеграла по траекториям

В формулировке интеграла по траекториям тождества Уорда — Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования. Точнее, если ${\delta }_{\epsilon }$ представляет собой калибровочное преобразование с помощью $\epsilon$ (и это справедливо даже в том случае, когда физическая симметрия системы глобальна или даже отсутствует; нас здесь беспокоит только инвариантность функциональной меры), тогда

$\int {\delta }_{\epsilon }\left(ℱe^{iS}\right)𝒟\varphi =0$

выражает инвариантность функциональной меры, где $S$ — действие и $ℱ$ — функционал полей. Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории, то

${\delta }_{\epsilon }S=\int \left({\partial }_{\mu }\epsilon \right)J^{\mu }{\mathrm{d}}^{d}x=-\int \epsilon {\partial }_{\mu }{J}^{\mu }{\mathrm{d}}^{d}x$

для некоторого тока J (как функционала от полей $\varphi$) после интегрирования по частям и предположения, что поверхностными членами можно пренебречь.

Тогда тождества Уорда — Такахаши записываются в виде

$⟨{\delta }_{\epsilon }ℱ⟩-i\int \epsilon ⟨ℱ{\partial }_{\mu }{J}^{\mu }⟩{\mathrm{d}}^{d}x=0$

Это КТП-аналог уравнения неразрывности Нётер ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$.

Если калибровочное преобразование соответствует фактической калибровочной симметрии, то

$\int {\delta }_{\epsilon }\left(ℱe^{i(S+S_{gf})}\right)𝒟\varphi =0$

где $S$ — калибровочно-инвариантное действие и $S_{\mathrm{g}\mathrm{f}}$ — некалибровочно-инвариантный вклад, фиксирующий калибровку.

Но обратите внимание, что даже если глобальной симметрии нет (то есть симметрия нарушена), у нас всё равно есть тождество Уорда — Такахаши, описывающее скорость несохранения заряда.

Если функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет соотношению

$\int {\delta }_{\epsilon }\left(ℱe^{iS}\right)𝒟\varphi =\int \epsilon \lambda ℱe^{iS}{\mathrm{d}}^{d}x$

где $\lambda$ — некоторый функционал полей $\varphi$, то имеется аномальное тождество Уорда — Такахаши, например, когда у поля есть киральная аномалия.