Трижды наращённый усечённый додекаэдр

Три́жды наращённый усечённый додека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₁, по Залгаллеру — М₁₂+3М₆).

Составлен из 62 граней: 35 правильных треугольников, 15 квадратов, 3 правильных пятиугольников и 9 правильных десятиугольников. Среди десятиугольных граней 3 окружены четырьмя десятиугольными и шестью треугольными, остальные 6 — тремя десятиугольными и семью треугольными; каждая пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 5 граней окружены тремя десятиугольными, 15 граней — двумя десятиугольными и квадратной, остальные 15 — десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 135 рёбер одинаковой длины. 15 рёбер располагаются между двумя десятиугольными гранями, 60 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 15 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 45 — между квадратной и треугольной.

У трижды наращённого усечённого додекаэдра 75 вершин. В 30 вершинах сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная; в 30 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 15 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Трижды наращённый усечённый додекаэдр можно получить из четырёх многогранников — усечённого додекаэдра и трёх пятискатных куполов (J₅), — приложив куполы к любым трём попарно не смежным десятиугольным граням усечённого додекаэдра.

Метрические характеристики

Если трижды наращённый усечённый додекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(60+35\sqrt{3}+3(30+\sqrt{5})\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 104,5647564a^2,$

$V=\frac{7}{12}(75+37\sqrt{5})a^3\approx 92,0118005a^3.$

Примечательные свойства

Среди всех многогранников Джонсона с заданной длиной ребра трижды наращённый усечённый додекаэдр имеет наибольший объём и наибольшую площадь поверхности.

Среди всех многогранников Джонсона трижды наращённый усечённый додекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (по числу же граней — делит первое место с J₇₂, J₇₃, J₇₄, J₇₅).

Ссылки

• Шаблон:Mathworld