Многочлены Гегенбауэра

Шаблон:Ортогональные многочлены 2 Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией $(1-z^2{)}^{\alpha -1/2}$. Они могут быть явным образом представлены как

$C_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )k!(n-2k)!}(2z{)}^{n-2k},$

где $\mathrm{\Gamma }(s)$ — гамма-функция, а $\lfloor n/2\rfloor$ обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы $SO(n)$Шаблон:Sfn. Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Производящая функция и частные значения аргумента

Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функциюШаблон:Sfn:

$\frac{1}{(1-2zt+t^2{)}^{\alpha }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^{(\alpha )}(z)t^n.$

Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене $z\to -z$, $t\to -t$, то

$C_n^{(\alpha )}(-z)=(-1{)}^n{C}_n^{(\alpha )}(z),$

из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.

Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений $(1-t{)}^{-2\alpha }$ и $(1+t^2{)}^{-\alpha }$ соответственно:

$C_n^{(\alpha )}(1)=\frac{(2\alpha {)}_n}{n!},$

$C_n^{(\alpha )}(0)=\frac{(-1{)}^{n/2}(\alpha {)}_{n/2}}{(n/2)!}$   (для чётных n),       $C_n^{(\alpha )}(0)=0$   (для нечётных n),

где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,

$(\alpha {)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}$.

Рекуррентное соотношение и частные случаи

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с $n\ge 2$:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{1}{n}[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].$

В частностиШаблон:Sfn,

$\begin{array}{cc}{C}_0^{(\alpha )}(z)& =1\\ C_1^{(\alpha )}(z)& =2\alpha z\\ C_2^{(\alpha )}(z)& =-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^2\\ C_3^{(\alpha )}(z)& =-2\alpha (1+\alpha )z+\frac{4}{3}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^3\end{array}$

и так далее.

Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению ГегенбауэраШаблон:Sfn

$(1-z^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{z}^2}-(2\alpha +1)z\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}+n(n+2\alpha )f=0.$

При $\alpha =\frac{1}{2}$ это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.

Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(2\alpha {)}_n}{n!}{}_2{F}_1(-n,2\alpha +n;\alpha +\frac{1}{2};\frac{1}{2}(1-z)).$

Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби $P_n^{(\mu ,\nu )}(z)$ c $\mu =\nu =\alpha -\frac{1}{2}$:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(2\alpha {)}_n}{(\alpha +\frac{1}{2}{)}_n}{P}_n^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(z).$

Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{C}_n^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z).$

Они могут быть выражены через формулу Родрига

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(-2{)}^n}{n!}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(2n+2\alpha )}(1-z^2{)}^{-\alpha +1/2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{z}^n}[(1-z^2{)}^{n+\alpha -1/2}].$

Ортогональность и нормировка

Для данного $\alpha$ многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией $(1-z^2{)}^{\alpha -1/2}$, то есть (для n ≠ m)Шаблон:Sfn,

${\int }_{-1}^1{C}_n^{(\alpha )}(z)C_m^{(\alpha )}(z)(1-z^2{)}^{\alpha -1/2}\mathrm{d}z=0.$

Они нормализованы какШаблон:Sfn

${\int }_{-1}^1{[C_n^{(\alpha )}(z)]}^2(1-z^2{)}^{\alpha -1/2}\mathrm{d}z=\frac{2^{1-2\alpha }\pi \mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\mathrm{\Gamma }(\alpha ){]}^2}.$

Случай комплексного аргумента

Если $z=x+\mathrm{i}y$, где $x$ и $y$ — действительные переменные (и $\alpha$ тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:

$\mathrm{R}\mathrm{e}[C_n^{(\alpha )}(x+\mathrm{i}y)]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{(-1{)}^k{2}^{2k}(\alpha {)}_{2k}}{(2k)!}{C}_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)y^{2k},$

$\mathrm{I}\mathrm{m}[C_n^{(\alpha )}(x+\mathrm{i}y)]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{(-1{)}^k{2}^{2k+1}(\alpha {)}_{2k+1}}{(2k+1)!}{C}_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)y^{2k+1}.$

См. также

• Ортогональные многочлены
• Многочлены Чебышёва
• Многочлены Лежандра
• Многочлены Якоби

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Шаблон:Iw, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. Chapter 22

Ссылки

• Gegenbauer Function, functions.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial, MathWorld — mathworld.wolfram.com