Первая и вторая теоремы Хелли

Между функциями распределения $\left\{F_{\xi }\left(x\right)\right\}$ и множеством их характеристических функций $\left\{f_{\xi }\left(t\right)\right\}$ существует взаимно однозначное соответствие.

В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.

Первая и вторая теоремы Хелли

Первая теорема Хелли

Из всякой последовательности функций распределения $\left\{F_x\right\}$ можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Вторая теорема Хелли

Если $g\left(x\right)$ — непрерывная ограниченная функция на прямой и $F_n\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right),F\left(\mathrm{\infty }\right)-F(-\mathrm{\infty })=1,$ то

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)dF\left(x\right)$

Доказательство первой теоремы Хелли

Пусть $D=\left\{x_k\right\}$ — всюду плотное на прямой счетное множество.

Из ограниченной последовательности $0\le F_n\left(x_1\right)\le 1$ выбираем сходящуюся подпоследовательность $F_{1n}\left(x_1\right)$, предел которой обозначим $F\left(x_1\right).$

Из ограниченной последовательности $0\le F_{1n}\left(x_2\right)\le 1$ выбираем сходящуюся подпоследовательность $F_{2n}\left(x_2\right)\to F\left(x_2\right)$ и т. д.

Далее выбираем диагональную подпоследовательность $f_{nn}\left(x\right)$, для которой $F_{nn}\left(x\right)\to F\left(x\right)$ для любой точки $x_k\in D.$

По лемме отсюда вытекает $F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Лемма

Если $F_n\left(x\right)\to F\left(x\right)$ на всюду плотном на прямой множестве $D$, то $F_n\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Замечание

$F\left(x\right)$ может не быть функцией распределения. Например, если $F_n\left(x\right)=0$ при $x<n$ и $F_n\left(x\right)=1$ при $x\ge n,$ то $F_n\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.$

Доказательство второй теоремы Хелли

Пусть $a<b$ — точки непрерывности $F\left(x\right)$.Докажем сначала, что

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int }_a^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$.

Пусть $\epsilon >0$. Разделим $[a,b]$ точками непрерывности $a=x_0,x_1,\mathrm{...},x_{N-1},x_N=b$ функции $F\left(x\right)$ на такие отрезки $[x_{k-1},x_k]$, что $|g\left(x\right)-g\left(x_k\right)|<\epsilon$ для точек $x\in [x_{k-1},x_k]$.

Это сделать можно, так как $g\left(x\right)$ равномерно непрерывна на $[a,b]$, а точки непрерывности $F\left(x\right)$ расположены всюду плотно.

Определим ступенчатую функцию.

$g_{\epsilon }\left(x\right)=g\left(x_k\right)$ на $x\in (x_{k-1},x_k]$.

Тогда

$|{\int }_a^{b}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-{\int }_a^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)|\le {\int }_a^b|g\left(x\right)-g_{\epsilon }\left(x\right)|d{F}_n\left(x\right)+|{\int }_a^b{g}_{\epsilon }d{F}_n-{\int }_a^b{g}_{\epsilon }dF|+{\int }_a^b|g\left(x\right)-g_{\epsilon }\left(x\right)|dF\left(x\right)\le$

$\le 2\epsilon +𝖬\left[\sum _{k=1}^N[F_n\left(x_k\right)-F\left(x_k\right)-(F_n\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right))]\right].$

где $𝖬=su{p}_x\left|g\left(x\right)\right|.$.

При $n\to \mathrm{\infty }$ последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int }_a^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).$

Для доказательства

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)dF\left(x\right)$

выберем $X>0$ таким, чтобы $F(-X)<\frac{\epsilon }{4}$ и $1-F\left(X\right)<\frac{\epsilon }{4}$ и чтобы точки $\pm X$ были точками непрерывности $F\left(x\right).$

Тогда, так как $F_n(\pm X)\to F(\pm X)$ можно выбрать $n_0$ таким, что при $n\ge n_0,F_n(-X)<\frac{\epsilon }{2}$ и $1-F_n\left(X\right)<\frac{\epsilon }{2}.$

Оценим разность

$|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)dF\left(x\right)|\le |\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-X}^{X}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-{\int }_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)|+\left|{\int }_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)\right|+\left|{\int }_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\le$

$\le |\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-X}^{X}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-{\int }_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)|+𝖬\epsilon +\frac{𝖬\epsilon }{2}.$

На основании $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int }_a^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$ заключаем, что правая часть

$|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)dF\left(x\right)|\le |\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-X}^{X}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-{\int }_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)|+\left|{\int }_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)\right|+\left|{\int }_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\le$

$\le |\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-X}^{X}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-{\int }_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)|+𝖬\epsilon +\frac{𝖬\epsilon }{2}.$

может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.

См. также

• Прямая и обратная предельная теорема

Литература

• Шаблон:Книга