Теоремы Мертенса

Теоремы Мертенса — три результата 1874 года, связанные с плотностью простых чисел, доказанные Францем МертенсомШаблон:Sfn. Название «теорема Мертенса» может относиться также к его теореме в анализе.

В теории чисел

Ниже $p⩽n$ означает все простые числа, не превосходящие n.

Первая теорема Мертенса:

$\sum _{p⩽n}\frac{\ln p}{p}-\ln n$

не превосходит 2 по абсолютной величине для любого $n⩾2$. (Шаблон:OEIS)

Вторая теорема Мертенса:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{p⩽n}\frac{1}{p}-\ln \ln n-M)=0,$

где M — константа Майсселя — Мертенса (Шаблон:OEIS). Более точно, МертенсШаблон:Sfn доказал, что выражение в скобках не превосходит по абсолютному значению

$\frac{4}{\ln (n+1)}+\frac{2}{n\ln n}$

для любого $n⩾2$.

Третья теорема Мертенса:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln n\prod _{p⩽n}(1-\frac{1}{p})=e^{-\gamma },$

где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (Шаблон:OEIS).

Изменение знака

В работе РобинаШаблон:Sfn о степени роста функции суммы делителей, опубликованной в 1983, Гай Робин доказал, что во второй теореме Мертенса разность

$\sum _{p⩽n}\frac{1}{p}-\ln \ln n-M$

меняет знак бесконечно много раз, а в третьей теореме Мертенса разность

$\ln n\prod _{p⩽n}(1-\frac{1}{p})-e^{-\gamma }$

также меняет знак бесконечно много раз. Результаты Робина аналогичны знаменитой теореме Литлвуда, что разность $\pi (x)-li(x)$ меняет знак бесконечно много раз. Никакого аналога числу Скьюза (верхней границе для первого натурального числа x, для которого $\pi (x)>li(x)$) не известны для 2-й и 3-й теорем Мертенса.

Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числах

Относительно асимптотической формулы Мертенс указывает в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра»Шаблон:Sfn, первая является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая является прототипом третьей теоремы Мертенса — см. первые строки статьи). Он указывает, что формула содержится в третьем издании книги Лежандра «Théorie des nombres» (1830; Фактически, он упоминал её во втором издании, 1808), а также что более тщательно проработанную версию доказал Чебышёв в 1851Шаблон:Sfn. Заметим, что уже в 1737, Эйлер знал асимптотическое поведение этой суммы Шаблон:Sfn.

Мертенс дипломатично описывает своё доказательство как более точное и строгое. В действительности, ни одно из предыдущих доказательств неприемлемо по современным стандартам — вычисления Эйлера вовлекают бесконечность (гиперболический логарифм бесконечности и логарифм логарифма бесконечности!), аргументы Лежандра эвристичны, а доказательство Чебышева, хотя безупречное, опирается на гипотезу Лежандра — Гаусса, которая была доказана лишь в 1896 и после этого стала известна как теорема о распределении простых чисел.

Доказательство Мертенса не обращается к какой-либо недоказанной гипотезе (в 1874) и использует элементарный вещественный анализ. Доказательство опубликовано на 22 года раньше первого доказательства теоремы о распределении простых чисел, которая, в отличие от доказательства Мертенса, опирается на тщательный анализ поведения дзета-функции Римана как функции комплексного переменного. Доказательство Мертенса в этом отношении замечательно. Более того, в современных обозначениях из него получается

$\sum _{p⩽x}\frac{1}{p}=\log \log x+M+O(1/\log x)$

с учётом того, что можно показать эквивалентность теоремы о распределении простых чисел (в её простейшей форме без оценки ошибки) формуле

$\sum _{p⩽x}\frac{1}{p}=\log \log x+M+o(1/\log x).$

В 1909 Ландау с помощью более совершенной версии теоремы о распределении простых чисел доказалШаблон:Sfn, что выполняется

$\sum _{p⩽x}\frac{1}{p}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x{)}^{1/14}})$.

В частности, ошибка меньше, чем $1/(\log x{)}^k$ для любого фиксированного целого k. Простое суммирование по частям, использующее наиболее сильную форму теоремы о распределении простых чисел, улучшает формулу до

$\sum _{p⩽x}\frac{1}{p}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x{)}^{3/5}(\log \log x{)}^{-1/5}})$

для некоторого $c>0$.

В теории суммируемости

Шаблон:Main В теории суммирования теорема Мертенса утверждает, что если вещественный или комплексный бесконечный ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

сходится к A, а другой ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$

сходится абсолютно к B, то их Шаблон:Не переведено 5 сходится к AB.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.
• В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.

Литература для дальнейшего чтения

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга Задачи 167, 169, 170

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld