Уравнение синус-Гордона

Уравнение синус-Гордона — это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Это уравнение привлекло много внимания в 1970-х годах из-за наличия у него солитонных решений.

Происхождение уравнения и его названия

Существует две эквивалентные формы уравнения синус-Гордона. В (вещественных) координатах пространство-время, обозначенных (x, t), уравнение имеет вид

${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\sin \phi =0.$

При переходе к координатам светового конуса (u, v), близким к асимптотическим координатам, где

$u=\frac{x+t}{2},v=\frac{x-t}{2},$

уравнение принимает вид

${\phi }_{uv}=\sin \phi .$

Это исходная форма уравнения синус-Гордона, в которой оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, также называемых псевдосферами. Выберем систему координат, в которой координатная сетка u = const, v = const задаётся асимптотическими линиями, параметризованными длиной дуги. Первая квадратичная форма данной поверхности в таких координатах примет специальный вид:

$d{s}^2=d{u}^2+2\cos \phi dudv+d{v}^2,$

где φ — угол между асимптотическими линиями, и для второй квадратичной формы, L = N = 0. Тогда уравнение Петерсона ― Кодацци, отражающее условие совместимости между первой и второй квадратичными формами, приводит к уравнению синус-Гордона. Изучение этого уравнения и соответствующих преобразований псевдосфер в XIX веке Бьянки и Бэклундом привели к открытию преобразований Бэклунда.

Название «уравнение синус-Гордона» — каламбур на тему хорошо известного в физике уравнения Клейна — Гордона:

${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\phi =0.$

Уравнение синус-Гордона является уравнением Эйлера — Лагранжа для лагранжиана

${ℒ}_{\text{sine-Gordon}}(\phi ):=\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)-1+\cos \phi .$

Используя разложение в ряд Тейлора косинуса

$\cos (\phi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!}$

в данном лагранжиане, он может быть записан как лагранжиан Клейна — Гордона плюс члены более высокого порядка

$\begin{array}{cc}{ℒ}_{\text{sine-Gordon}}(\phi )& =\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)-\frac{{\phi }^2}{2}+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!}=\\ & =2{ℒ}_{\text{Klein–Gordon}}(\phi )+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!}.\end{array}$

Солитоны

Интересное свойство уравнения синус-Гордона — существование солитонных и многосолитонных решений.

Односолитонное решение

Уравнение синус-Гордона имеет следующие односолитонные решения:

${\phi }_{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta },$

где

${\gamma }^2=\frac{1}{1-v^2}.$

Односолитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для $\gamma$, называется кинк и представляет виток по переменной $\phi$, который переводит одно решение $\phi =0$ в смежное $\phi =2\pi$. Состояния $\phi =0(\mathrm{mod}2\pi )$ известны как вакуумные, так как они являются постоянными решениями нулевой энергии. Односолитонное решение, в котором мы взяли отрицательный корень для $\gamma$, называется антикинк. Форма односолитонных решений может быть получена посредством применения преобразования Бэклунда к тривиальному (постоянному вакуумному) решению и интегрированию получившихся дифференциальных уравнений первого порядка:

$\phi {\text{'}}_u={\phi }_u+2\beta \sin \frac{{\phi }^{\prime }+\phi }{2},$

$\phi {\text{'}}_v=-{\phi }_v+\frac{2}{\beta }\sin \frac{{\phi }^{\prime }-\phi }{2},\phi ={\phi }_0=0.$

Односолитонные решения могут быть визуализированы посредством синус-гордоновской модели упругой ленты. Примем виток упругой ленты по часовой стрелке (левовинтовой) за кинк с топологическим зарядом ${\vartheta }_{\text{K}}=-1$. Альтернативный виток против часовой стрелки (правовинтовой) с топологическим зарядом ${\vartheta }_{\text{AK}}=+1$ будет антикинком.

Кинк

Антикинк

Двухсолитонные решения

Многосолитонные решения могут быть получены посредством непрерывного применения преобразования Бэклунда к односолитонному решению, как предписывается решёткой Бьянки, соответствующей результатам преобразования. 2-солитонные решения уравнения синус-Гордона проявляют некоторые характерные свойства солитонов. Бегущие синус-гордоновские кинки и/или антикинки проходят сквозь друг друга как полностью проницаемые, и единственный наблюдаемый эффект — фазовый сдвиг. Так как сталкивающиеся солитоны сохраняют свою скорость и форму, такой вид взаимодействия называется упругим столкновением.

Другие интересные двухсолитонные решения возникают из возможности спаренного кинк-антикинкового поведения, известного как бризер. Известно три типа бризеров: стоячий бризер, бегущий высокоамплитудный бризер и бегущий малоамплитудный бризер.

Столкновение антикинк — кинк

Столкновение кинк — кинк

Стоячий бризер

Бегущий высокоамплитудный бризер

Бегущий малоамплитудный бризер

Трёхсолитонные решения

Трёхсолитонные столкновения между бегущим кинком и стоячим бризером или бегущим антикинком и стоячим бризером приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером сдвиг последнего ${\mathrm{\Delta }}_{\text{B}}$ даётся соотношением

${\mathrm{\Delta }}_B=\frac{2\mathrm{arctanh}\sqrt{(1-{\omega }^2)(1-v_{\text{K}}^2)}}{\sqrt{1-{\omega }^2}},$

где $v_{\text{K}}$ — скорость кинка, а $\omega$ — частота бризера. Если координата стоячего бризера до столкновения — $x_0$, то после столкновения она станет $x_0+{\mathrm{\Delta }}_{\text{B}}$.

Столкновение кинка со стоящим бризером

Столкновение антикинка со стоящим бризером

Связанные уравнения

Уравнение шинус-ГордонаШаблон:Нет АИ:

${\phi }_{xx}-{\phi }_{tt}=\sinh \phi .$

Это уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана

$ℒ=\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)-\cosh \phi .$

Другое тесно связанное с уравнением синус-Гордона — это эллиптическое уравнение синус-Гордона:

${\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=\sin \phi ,$

где $\phi$ — функция переменных x и y. Это уже не солитонное уравнение, но оно имеет много похожих свойств, так как оно связано с уравнением синус-Гордона аналитическим продолжением (или поворотом Вика) y = it.

Эллиптическое уравнение шинус-Гордона может быть определено аналогичным образом. Обобщение даётся теорией поля Тоды.

Квантовая версия

В квантовой теории поля модель синус-Гордона содержит параметр, который может быть отождествлён с постоянной Планка. Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров. Число бризеров зависит от данного параметра. Множественные рождения частиц сокращаются на уравнениях движения.

Квазиклассическое квантование модели синус-Гордона было осуществлено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным. Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александром и Алексеем Замолодчиковыми. Данная модель s-дуальна модели Тирринга.

В конечном объёме и на луче

Также рассматривают модель синус-Гордона на круге, отрезке прямой или луче. Возможно подобрать граничные условия, которые сохраняют интегрируемость данной модели. На луче спектр частиц содержит пограничные состояния кроме солитонов и бризеров.

Суперсимметричная модель синуса-Гордона

Суперсимметричный аналог модели синус-Гордона также существует. С таким же успехом для него могут быть найдены сохраняющие интегрируемость граничные условия.

Ссылки

• Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.
• Rajaraman R. Solitons and instantons. North-Holland Personal Library, 1989.