Функция вероятности

Функции вероятности для биномиальных распределений с разными параметрами

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция, возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина $X$ примет определённое значение. Например, пусть $p:{ℝ}^n\to [0,1]$ — функция вероятности, тогда вероятность того, что $X$ примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения $X=13$ в функцию $p(X)=p(13)$, которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 — это означает, что вероятность получить число 13 равна 0.5.

Если $X$ — скалярная случайная величина, функция вероятности задаётся таблицей возможных значений с соответствующими вероятностями ($x_i,p_i$); такая таблица носит название «ряд распределения».

Функция вероятности — это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Она играет ту же роль, что и плотность вероятности для непрерывной случайной величины (однако в последней ситуации речь идёт не о вероятности реализации конкретного значения $X$, а о вероятности попадании значения случайной величины в заданный интервал, которая находится интегрированием плотности вероятности по этому интервалу).

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть $\mathbb{P}$ является вероятностной мерой на ${ℝ}^n$, то есть определено вероятностное пространство $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n),\mathbb{P})$, где $ℬ({ℝ}^n)$ обозначает борелевскую σ-алгебру на ${ℝ}^n$. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель $\mathbb{P}$ не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество $X\subset {ℝ}^n$ такое, что $\mathbb{P}(X)=1$.

Функция $p:{ℝ}^n\to [0,1]$, определённая следующим образом:

$p(x)=\{\begin{array}{cc}\mathbb{P}(\{x\}),& x\in X\\ 0,& x\in {ℝ}^n\setminus X,\end{array}$

где $\mathbb{P}$ — дискретная вероятностная мера, называется функцией вероятности $\mathbb{P}$. Здесь важно понимать, что $\mathbb{P}$ - это функция, определённая на множествах, а не на числах, в то время как $p(x)$, будучи определённой через $\mathbb{P}$, уже является функцией определённой над числами.

Функция вероятности дискретной случайной величины

Пусть $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ ($X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$) — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует (наводит) вероятностную меру ${\mathbb{P}}^X$ на $ℝ$ (на ${ℝ}^n$), называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности $p_X$ дискретной случайной величины $X$ имеет вид:

$p_X(x)={\mathbb{P}}^X(\{x\})\equiv \mathbb{P}(X=x)$,

или

$p_X(x_i)=\mathbb{P}(X=x_i)=p_i,i\in \mathbb{N},$

где $\{x_1,x_2,x_3,\dots \}$ — множество значений, которые принимает $X$.

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидноШаблон:Кому следует:

• $p_X(x_i)⩾0,\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}$.
• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_X(x_i)=1$.
• Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

$F_X(x)=\sum _{x^{\prime }⩽x}{p}_X(x^{\prime })$.

• Если $X=(X_1,X_2)$, то

$\sum _{x_2}{p}_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=p_{X_1}(x_1)$,

$\sum _{x_1}{p}_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=p_{X_2}(x_2)$,

где $p_{X_1,X_2}$ — функция вероятности вектора $(X_1,X_2)$, а $p_{X_i}$ — функция вероятности величины $X_i,i=1,2$. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности $n>2$.

• Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:

$𝔼[g(X)]=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}g(x_i)p_i$,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

• Распределение Бернулли;
• Биномиальное распределение;
• Геометрическое распределение;
• Гипергеометрическое распределение;
• Логарифмическое распределение;
• Отрицательное биномиальное распределение;
• Распределение Пуассона;
• Дискретное равномерное распределение;
• Мультиномиальное распределение.

См. также

• Плотность вероятности