Квадратный паркет

Квадратная мозаика
Тип	Шаблон:Не переведено 5
Конфигурация граней	4.4.4.4 (или 44) |
Конфигурация граней	V4.4.4.4 (или V44)
Символ Шлефли	{4,4} $\{\mathrm{\infty }\}\times \{\mathrm{\infty }\}$
Символ Витхоффа	4 | 2 4
Диаграммы Коксетера — Дынкина	Шаблон:CDD Шаблон:CDD Шаблон:CDD Шаблон:CDD Шаблон:CDD Шаблон:CDD
Симметрия	p4m, [4,4], (*442)
Симметрия вращения	], p4, [4,4]+, (442)|
Двойственная мозаика	самодвойственны
Свойства	вершинно транзитивная гране транзитивная рёберно транзитивная

Квадра́тный парке́т, квадратный паркетажШаблон:Sfn, квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата.

Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль).

Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.

Однородные раскраски

Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112_i получается из 1213, 1123_i из 1234, а 1112_ii из 1123_ii.

9 однородных раскрасок
1111	1212	1213	1112i	1122
p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123i	1123ii	1112ii
pmm (*2222)		cmm (2*22)

Доска Го с камнями

Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.

Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…

Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера — Шаблон:CDD при n, стремящемся к бесконечности. Шаблон:Правильные мозаики 4-го порядка

Построение Витхоффа из квадратной мозаики

Подобно однородным многогранникам существует восемь Шаблон:Не переведено 5, имеющих в основе правильную квадратную мозаику.

Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.

Топологически эквивалентные мозаики

Изогональный вариант с двумя типами граней

2-изоэдральный вариант с ромбическими гранями

Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).

Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цветШаблон:Sfn.

Изоэдральные четырёхугольные мозаики

Квадрат p4m, (*442)	Четырёхугольник p4g, (4*2)	Прямоугольник pmm, (*2222)	Параллелограмм p2, (2222)	Параллелограмм pmg, (22*)	Ромб cmm, (2*22)	Ромб pmg, (22*)
	Файл:Isohedral tiling p4-52.png
Трапеция cmm, (2*22)		Четырёхугольник pgg, (22×)	Дельтоид pmg, (22*)	Четырёхугольник pgg, (22×)	Четырёхугольник p2, (2222)

Вырожденные четырёхугольники или треугольники, не соприкасающиеся ребро-к-ребру

Равнобедренный pmg, (22*)	Равнобедренный pgg, (22×)		Неравносторонний pgg, (22×)		Неравносторонний p2, (2222)

Упаковка кругов

Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)Шаблон:Sfn. Плотность упаковки равна $\pi /4\approx 78,54\mathrm{\%}$. Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональнаШаблон:Sfn.

Самодвойственные	Двойственные
4{4}4 или Шаблон:CDD	2{8}4 или Шаблон:CDD	4{8}2 или Шаблон:CDD

См. также

• Список правильных многомерных многогранников и соединений
• Шаблон:Не переведено 5
• Квадратная решётка
• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Klitzing, Richard 2D Euclidean tilings o4o4x — squat — O1 Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld