Экспонента матрицы

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Для вещественной или комплексной матрицы $X$ размера $n\times n$ экспонента от $X$, обозначаемая как $e^X$ или $\exp (X)$, — это матрица $n\times n$, определяемая степенным рядом:

$e^X=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{X}^k$,

где $X^k$ — k-я степень матрицы $X$. Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от $X$ всегда корректно определена.

Если $X$ — матрица размера $1\times 1$, то матричная экспонента от $X$ есть матрица размерности $1\times 1$, единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента $X$.

Свойства

Основные свойства

Для комплексных матриц $X$ и $Y$ размера $n\times n$, произвольных комплексных чисел $a$ и $b$, единичной матрицы $E$ и нулевой матрицы $0$, экспонента обладает следующим свойствами:

• $\exp 0=E$;
• $\exp aX\exp bX=\exp ((a+b)X)$;
• $\exp X\exp (-X)=E$;
• если $XY=YX$, то $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp (X+Y)$;
• если $Y$ — невырожденная матрица, то $\exp (YX{Y}^{-1})=Y\exp (X)Y^{-1}$.
• $\exp X^{\mathrm{T}}=(\exp X{)}^{\mathrm{T}}$, где $X^{\mathrm{T}}$ обозначает транспонированную матрицу для $X$, отсюда следует, что если $X$ является симметричной, то $\exp X$ тоже симметрична, а если $X$ — кососимметричная матрица, то $\exp X$ — ортогональная;
• $\exp (X^{*})=(\exp X{)}^{*}$, где $X^{*}$ обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу для $X$, отсюда следует, что если $X$ — эрмитова матрица, то $\exp X$ тоже эрмитова, а если $X$ — антиэрмитова матрица, то $\exp X$ — унитарная
• $\det (\exp X)=\exp (\mathrm{tr}X)$, где $\mathrm{tr}X$ — след матрицы $X$.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение системы:

$\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t),y(0)=y_0$,

где $A$ — постоянная матрица, даётся выражением:

$y(t)=e^{At}{y}_0.$

Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида

$\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t)+z(t),y(0)=y_0$.

Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида

$\frac{d}{dt}y(t)=A(t)y(t),y(0)=y_0$,

где $A$ — не постоянная, но Шаблон:Нп5 позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.

Экспонента суммы

Для любых двух вещественных чисел (скаляров) $x$ и $y$ экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$, это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы $X$ и $Y$ коммутируют (то есть $XY=YX$), то $\exp (X+Y)=\exp (X)\exp (Y)$. Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления $\exp (X+Y)$ используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.

В общем случае из равенства $\exp (X+Y)=\exp (X)\exp (Y)$ не следует, что $X$ и $Y$ коммутируют.

Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.

Неравенство Голдена — Томпсона

Если $A$ и $H$ — эрмитовы матрицы, то:

$\mathrm{tr}\exp (A+H)⩽\mathrm{tr}(\exp (A)\exp (H))$,

Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а $\mathrm{tr}(\exp (A)\exp (B)\exp (C))$ не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц $A$, $B$ и $C$.

Теорема Либа

Теорема Либа, названная по имени Шаблон:Нп5, гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы $H$, функция:

$f(A)=\mathrm{tr}\exp (H+\log A)$

является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц.

Экспоненциальное отображение

Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к $\exp X$ матрица равна $\exp (-X)$, это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:

$\exp :M_n(ℂ)\to \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℂ)$

из пространства всех матриц размерности $n\times n$ на полную линейную группу порядка $n$, то есть группу всех невырожденных матриц размерности $n\times n$. Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел $ℂ$, а не вещественных чисел $ℝ$).

Для любых двух матриц $X$ и $Y$ имеет место неравенство

$\Vert e^{X+Y}-e^X\Vert ⩽\Vert Y\Vert e^{\Vert X\Vert }{e}^{\Vert Y\Vert }$,

где $\Vert \cdot \Vert$ обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах $M_n(ℂ)$.

Отображение:

$t\mapsto e^{tX},t\in ℝ$

определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при $t=0$.

Приложения

Линейные дифференциальные уравнения

Пример однородной системы

Для системы:

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& 2x& -y& +z\\ y^{\prime }& =& & 3y& -1z\\ z^{\prime }& =& 2x& +y& +3z.\end{array}$

её матрица есть:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right].$

Можно показать, что экспонента от матрицы $tA$ есть

$e^{tA}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}{e}^{2t}(1+e^{2t}-2t)& -2t{e}^{2t}& e^{2t}(-1+e^{2t})\\ -e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)& 2(t+1)e^{2t}& -e^{2t}(-1+e^{2t})\\ e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)& 2t{e}^{2t}& e^{2t}(1+e^{2t})\end{array}\right],$

таким образом, общее решение этой системы есть:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\frac{x(0)}{2}\left[\begin{array}{c}{e}^{2t}(1+e^{2t}-2t)\\ -e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)\\ e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)\end{array}\right]+\frac{y(0)}{2}\left[\begin{array}{c}-2t{e}^{2t}\\ 2(t+1)e^{2t}\\ 2t{e}^{2t}\end{array}\right]+\frac{z(0)}{2}\left[\begin{array}{c}{e}^{2t}(-1+e^{2t})\\ -e^{2t}(-1+e^{2t})\\ e^{2t}(1+e^{2t})\end{array}\right].$

Пример неоднородной системы

Для решения неоднородной системы:

$\begin{array}{ccccccccc}{x}^{\prime }& =& 2x& -& y& +& z& +& e^{2t}\\ y^{\prime }& =& & & 3y& -& z& \\ z^{\prime }& =& 2x& +& y& +& 3z& +& e^{2t}\end{array}$

вводятся обозначения:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right],$

и

$𝐛=e^{2t}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:

${𝐲}_p=e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{(-u)A}\left[\begin{array}{c}{e}^{2u}\\ 0\\ e^{2u}\end{array}\right]du+e^{tA}𝐜$

${𝐲}_p=e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left[\begin{array}{ccc}2e^u-2u{e}^{2u}& -2u{e}^{2u}& 0\\ \\ -2e^u+2(u+1)e^{2u}& 2(u+1)e^{2u}& 0\\ \\ 2u{e}^{2u}& 2u{e}^{2u}& 2e^u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}^{2u}\\ 0\\ e^{2u}\end{array}\right]du+e^{tA}𝐜$

${𝐲}_p=e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left[\begin{array}{c}{e}^{2u}(2e^u-2u{e}^{2u})\\ \\ e^{2u}(-2e^u+2(1+u)e^{2u})\\ \\ 2e^{3u}+2u{e}^{4u}\end{array}\right]du+e^{tA}𝐜$

${𝐲}_p=e^{tA}\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\\ \\ \frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t+4)-16)\\ \\ \frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2e^t-2t{e}^{2t}& -2t{e}^{2t}& 0\\ \\ -2e^t+2(t+1)e^{2t}& 2(t+1)e^{2t}& 0\\ \\ 2t{e}^{2t}& 2t{e}^{2t}& 2e^t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right],$

где $𝐜={𝐲}_p(0)$ — начальное условие.

Обобщение: вариация произвольной постоянной

В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде: ${𝐲}_p(t)=\exp (tA)𝐳(t)$:

$\begin{array}{cc}{{𝐲}_p}^{\prime }(t)& =(e^{tA}{)}^{\prime }𝐳(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)\\ & =A{e}^{tA}𝐳(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)\\ & =A{𝐲}_p(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t).\end{array}$

Чтобы ${𝐲}_p$ было решением, должно иметь место следующее:

$\begin{array}{cc}{e}^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)& =𝐛(t)\\ {𝐳}^{\prime }(t)& =(e^{tA}{)}^{-1}𝐛(t)\\ 𝐳(t)& =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-uA}𝐛(u)du+𝐜.\end{array}$

Таким образом:

$\begin{array}{cc}{𝐲}_p(t)& =e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-uA}𝐛(u)du+e^{tA}𝐜\\ & =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{(t-u)A}𝐛(u)du+e^{tA}𝐜\end{array},$

где $𝐜$ определяется из начальных условий задачи.

См. также

• Тригонометрические функции от матрицы

Ссылки

• Weisstein, Eric W., «Matrix Exponential», MathWorld
• Module for the Matrix Exponential