Полное усечение (геометрия)

Полностью усечённый куб является кубооктаэдром – рёбра сводятся к вершинам, а вершины расширяются до новых граней

Шаблон:Не переведено 5 – рёбра уменьшаются до вершин, а вершины превращаются в новые ячейки.

В евклидовой геометрии спрямление или полное усечение — это процесс усечения многогранника путём пометки середины всех его рёбер и отсечения всех вершин вплоть до этих точек ^[1]. Получающийся многогранник будет ограничен фасетами (гранями размерности n-1, в трёхмерном пространстве это многоугольники) вершинных фигур и усечёнными фасетами исходного многогранника. Операции спрямления даётся однобуквенный символ r. Так, например, r{4,3} — спрямлённый куб, т.е. кубооктаэдр.

Конвей для этой операции использует обозначение ambo. В теории графов эта операция создаёт срединный граф.

Пример спрямления как финальной стадии усечения ребра

Полное усечение является финальной стадией процесса усечения. На рисунке показаны четыре стадии непрерывного процесса усечения от правильного куба до полностью усечённого состояния:

Файл:Cube truncation sequence(ru).svg

Более высокие степени полного усечения

Более высокие степени полного усечения могут быть осуществлены на правильных многогранниках более высоких размерностей. Наивысшая степень полного усечения создаёт двойственный многогранник. Спрямление усекает рёбра до точек. Двойное спрямление усекает (двумерные) грани до точек. В более высоких размерностях тройное спрямление усекает ячейки (трёхмерные грани) до точек, и так далее.

Пример двойного спрямления как финальной стадии усечения граней

Последовательность на рисунке показывает двойное усечение куба как конечную стадию процесса от куба к двойственному октаэдру, при котором исходная грань усекается до точки:

Для многоугольников

Двойственный многоугольник — это то же самое, что и полностью усечённая его форма. Новые вершины располагаются в серединах сторон исходного многоугольника.

Для многогранников и плоских мозаик

Шаблон:See Любой правильный многогранник и его двойственный имеют один и тот же полностью усечённый многогранник. (Это не так для многогранников в пространствах размерности 4 и более.)

Полностью усечённый многогранник может быть получен как пересечение исходного правильного многогранника с подходящим образом масштабированной концентрической версии двойственного. По этой причине их имена строятся как комбинации имени исходного многогранника и его двойственного:

Полностью усечённый тетраэдр, двойственным которому является тетраэдр, носит имя тетратетраэдр, более известный как октаэдр.
Полностью усечённый октаэдр, двойственным которому является куб, носит имя кубооктаэдр.
Полностью усечённый икосаэдр, двойственным которому является додекаэдр, носит имя икосододекаэдр.
Полностью усечённый квадратный паркет — это квадратный паркет.
Полностью усечённый треугольный паркет, двойственным которому является шестиугольный паркет, носит имя тришестиугольный паркет.

Примеры

Семейство	Родитель	Полное усечение	Двойственный
Шаблон:CDD [p,q]	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
[3,3]	Тетраэдр	Октаэдр	Тетраэдр
[4,3]	Куб	Кубооктаэдр	Октаэдр
[5,3]	Додекаэдр	Икосододекаэдр	Икосаэдр
[6,3]	Шестиугольная мозаика	Тришестиугольная мозаика	Треугольная мозаика
[7,3]	Семиугольная мозаика третьего порядка	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5
[4,4]	Квадратная мозаика	Квадратная мозаика	Квадратная мозаика
[5,4]	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5

Для неправильных многогранников

Если многогранник не является правильным, середины рёбер, окружающих вершину, могут не лежать в одной плоскости. Однако некая форма полного усечения остаётся возможной и в этом случае — любой многогранник имеет полиэдральный граф, как Шаблон:Не переведено 5 (многогранника), и из этого графа можно образовать срединный граф путём помещения вершин в середины рёбер исходного графа и соединения двух новых вершин ребром, если они принадлежат последовательным рёбрам вдоль общей грани. Получившийся срединный граф остаётся полиэдральным, так что по теореме Штайница его можно представить в виде многогранника.

Эквивалент нотации Конвея для полного усечения — это ambo, обозначаемый буквой a. Применяя дважды aa, (спрямление после спрямления) — это конвеевская операция расширения, e, которая является той же операцией, что и операция скашивания Джонсона, t_0,2 для правильных многогранников и мозаик.

Для 4-мерных многогранников и 3-мерных мозаик

Любой Шаблон:Не переведено 5 имеет форму полного усечения, как Шаблон:Не переведено 5.

Правильный 4-мерный многогранник {p,q,r} имеет ячейки {p,q}. Его полное усечение даст два типа ячеек — полностью усечённые {p,q} многогранники, оставшиеся от исходных ячеек, и {q,r} многогранники как новые ячейки, образованные на местах отсечённых вершин.

Однако усечение {p,q,r} не совпадает с усечением {r,q,p}. Дальнейшее усечение, называемое Шаблон:Не переведено 5, симметрично относительно 4-мерного многогранника и его двойственного. Смотрите Шаблон:Не переведено 5.

Примеры

Семейство	Родитель	Полное усечение	Двойное полное усечение (Усечение двойственного)	Тройное полное усечение (Двойственный)
Шаблон:CDD [p,q,r]	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
[3,3,3]	Пятиячейник	Полностью усечённый пятиячейник	Полностью усечённый пятиячейник	Пятиячейник
[4,3,3]	тессеракт	Шаблон:Не переведено 5	Полностью усечённый шестнадцатиячейник (двадцатичетырёхячейник)	Шестнадцатиячейник
[3,4,3]	Двадцатичетырёхячейник	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Двадцатичетырёхячейник
[5,3,3]	Стодвадцатиячейник	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шестисотячейник
[4,3,4]	Кубические соты	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Кубические соты
[5,3,4]	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5

Степени спрямления

Первое полное усечение усекает рёбра до точек. Если многогранник является правильным, эта форма представляется расширенным символом Шлефли t₁{p,q,...} или r{p,q,...}.

Второе полное усечение, или двойное спрямление, усекает грани до точек. Если многогранник правильный, двойное полное усечение обозначается t₂{p,q,...} или 2r{p,q,...}. Для 3-мерных многогранников двойное полное усечение даёт двойственный многогранник.

Более высокие степени полного усечения можно построить для многогранников в пространствах размерности 4 и выше. В общем случае, уровень полного усечения n отсекает n-мерные грани до точек.

Если многогранник в n-мерном пространстве полностью усечён до степени (n-1), его фасеты (грани размерности n-1) усекаются до точки и он становится двойственным исходному.

Обозначения и фасеты

Существует три различных эквивалентных обозначения для каждой степени полного усечения. Таблицы ниже показывают имена по размерности и два типа фасет для каждого.

Правильные многоугольники

Фасеты — это рёбра, представленные как {2}.

название {p}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
название {p}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Название	Фасет-1	Фасет-2
Родитель	Шаблон:CDD	t₀{p}	{p}	{2}
Полностью усечённый	Шаблон:CDD	t₁{p}	{p}		{2}

Правильные 3-мерные однородные многогранники и мозаики

Фасеты являются правильными многоугольниками.

Название {p,q}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
Название {p,q}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Название	Фасет-1	Фасет-2
Родитель	Шаблон:CDD	t₀{p,q}	{p,q}	{p}
Полностью усечённый	Шаблон:CDD	t₁{p,q}	${\begin{matrix} p \\ q \end{matrix}}$ = r{p,q}	{p}	{q}
Дважды усечённый	Шаблон:CDD	t₂{p,q}	{q,p}		{q}

Правильные однородные 4-мерные многогранники и соты

Фасеты — правильные или полностью усечённые многогранники.

название {p,q,r}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
название {p,q,r}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Название	Фасет-1	Фасет -2
Родитель	Шаблон:CDD	t₀{p,q,r}	{p,q,r}	{p,q}
Rectified	Шаблон:CDD	t₁{p,q,r}	${\begin{matrix} p \\ q, r \end{matrix}}$ = r{p,q,r}	${\begin{matrix} p \\ q \end{matrix}}$ = r{p,q}	{q,r}
Дважды полностью усечённый (Полностью усечённый двойственный)	Шаблон:CDD	t₂{p,q,r}	${\begin{matrix} q, p \\ r \end{matrix}}$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\begin{matrix} q \\ r \end{matrix}}$ = r{q,r}
Трихды полностью усечённый (Двойственный)	Шаблон:CDD	t₃{p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

Правильные многогранники в 5-мерном пространстве и 4-мерные соты

Фасеты являются правильными или полностью усечёнными четырёхмерными многогранниками.

Название {p,q,r,s}	Диаграмма Коксетера	t-запись символа Шлефли	Расширенный символ Шлефли
Название {p,q,r,s}	Диаграмма Коксетера	t-запись символа Шлефли	Название	Фасет-1	Фасет -2
Родитель	Шаблон:CDD	t₀{p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Полностью усечённый	Шаблон:CDD	t₁{p,q,r,s}	${\begin{matrix} p \\ q, r, s \end{matrix}}$ = r{p,q,r,s}	${\begin{matrix} p \\ q, r \end{matrix}}$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Дважды полностью усечённый (Дважды полностью усечённый двойственный)	Шаблон:CDD	t₂{p,q,r,s}	${\begin{matrix} q, p \\ r, s \end{matrix}}$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{matrix} q, p \\ r \end{matrix}}$ = r{r,q,p}	${\begin{matrix} q \\ r, s \end{matrix}}$ = r{q,r,s}
Трижды полностью усечённый (Полностью усечённый двойственный)	Шаблон:CDD	t₃{p,q,r,s}	${\begin{matrix} r, q, p \\ s \end{matrix}}$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\begin{matrix} r, q \\ s \end{matrix}}$ = r{s,r,q}
Четырежды полностью усечённый (двойственный)	Шаблон:CDD	t₄{p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

См. также

Примечания

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Книга (стр.145-154 Глава 8: Truncation)
Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Шаблон:Книга (Chapter 26)

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Не переведено 5 Rectification на Glossary for Hyperspace.

Шаблон:Операции над многогранниками

Шаблон:Rq

↑ Шаблон:Mathworld

[1] Шаблон:Mathworld

[1]

Полное усечение (геометрия)

Содержание

Пример спрямления как финальной стадии усечения ребра

Более высокие степени полного усечения

Пример двойного спрямления как финальной стадии усечения граней

Для многоугольников