Список плоских групп симметрии

В статье суммируется информация о классах дискретных групп симметрии евклидовой плоскости. Группы симметрии, приведённые здесь, именуются по трём схемам именования: международная нотация, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5. Существует три вида групп симметрии на плоскости:

• 2 бесконечных семейства точечных групп
• 7 групп бордюра – 2D-Шаблон:Не переведено 5
• 17 групп обоев – 2D-пространственные группы.

Точечные группы симметрии

Шаблон:Основная статья На плоскости имеется точка, инвариантная относительно каждого преобразования. Существует два бесконечных семейства дискретных двумерных точечных групп. Группы определяются параметром n, равным порядку подгруппы вращений. Также параметр n равен показателю группы.

Семейство	Межд. (Шаблон:Не переведено 5)	Шёнфлиса	Геом. Шаблон:Sfn Шаблон:Не переведено 5	Порядок	Примеры
Циклические группы	n (n•)	Cn	Шаблон:Overline [n]+ Шаблон:CDD	n	C1, [ ]+ (•)	C2, [2]+ (2•)	C3, [3]+ (3•)	C4, [4]+ (4•)	C5, [5]+ (5•)	C6, [6]+ (6•)
Диэдральные группы	nm (*n•)	Dn	n [n] Шаблон:CDD	2n	D1, [ ] (*•)	D2, [2] (*2•)	D3, [3] (*3•)	D4, [4] (*4•)	D5, [5] (*5•)	D6, [6] (*6•)

Группа бордюров

На плоскости имеется прямая, которая переходит в себя при каждом преобразовании. При этом отдельные точки этой прямой могут не оставаться неподвижными.

7 групп бордюров, двумерных Шаблон:Не переведено 5. Символы Шёнфлиса даны как бесконечные пределы 7 диэдральных групп. Жёлтые области представляют бесконечные фундаментальные области для каждого бордюра.

[1,∞], Шаблон:CDD

IUC (Шаблон:Не переведено 5)	Геом.	Шёнфлис	Шаблон:Не переведено 5	Фундаментальная область	Пример
p1 (∞•)	pШаблон:Overline	C∞	[1,∞]+ Шаблон:CDD
p1m1 (*∞•)	p1	C∞v	[1,∞] Шаблон:CDD

[2,∞⁺], Шаблон:CDD

IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p11g (∞×)	p.g1	S2∞	[2+,∞+] Шаблон:CDD
p11m (∞*)	p. 1	C∞h	[2,∞+] Шаблон:CDD

[2,∞], Шаблон:CDD

IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p2 (22∞)	pШаблон:Overline	D∞	[2,∞]+ Шаблон:CDD
p2mg (2*∞)	p2g	D∞d	[2+,∞] Шаблон:CDD
p2mm (*22∞)	p2	D∞h	[2,∞] Шаблон:CDD

Группы обоев

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, упорядоченные по международной нотации, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 и классифицированы 5 решётками Браве на плоскости: квадратной, скошенной (параллелограммной), шестиугольной (ромбы с углами 60 градусов), прямоугольной и ромбической.

Группы p1 и p2 с зеркальной симметрией встречаются во всех классах. Связанная чистая группа Коксетера отражений дана для всех классов, за исключением косых.

Квадрат [4,4], Шаблон:CDD IUC (Шаблон:Не переведено 5) Геом. Шаблон:Не переведено 5 Фундаментальная область p1 (°) pШаблон:Overline p2 (2222) pШаблон:Overline [4,1+,4]+ Шаблон:CDD [1+,4,4,1+]+ Шаблон:CDD pgg (22×) pg2g [4+,4+] Шаблон:CDD pmm (*2222) p2 [4,1+,4] Шаблон:CDD [1+,4,4,1+] Шаблон:CDD cmm (2*22) c2 [(4,4,2+)] Шаблон:CDD p4 (442) pШаблон:Overline [4,4]+ Шаблон:CDD p4g (4*2) pg4 [4+,4] Шаблон:CDD p4m (*442) p4 [4,4] Шаблон:CDD

Прямоугольный [∞h,2,∞v], Шаблон:CDD IUC (Orb.) Геом. Коксетер Фундаментальная область p1 (°) pШаблон:Overline [∞+,2,∞+] Шаблон:CDD p2 (2222) pШаблон:Overline [∞,2,∞]+ Шаблон:CDD pg(h) (××) pg1 h: [∞+,(2,∞)+] Шаблон:CDD pg(v) (××) pg1 v: [(∞,2)+,∞+] Шаблон:CDD pgm (22*) pg2 h: [(∞,2)+,∞] Шаблон:CDD pmg (22*) pg2 v: [∞,(2,∞)+] Шаблон:CDD pm(h) (**) p1 h: [∞+,2,∞] Шаблон:CDD pm(v) (**) p1 v: [∞,2,∞+] Шаблон:CDD pmm (*2222) p2 [∞,2,∞] Шаблон:CDD

Ромбический [∞h,2+,∞v], Шаблон:CDD IUC (Orb.) Геом. Коксетер Фундаментальная область p1 (°) pШаблон:Overline [∞+,2+,∞+] Шаблон:CDD p2 (2222) pШаблон:Overline [∞,2+,∞]+ Шаблон:CDD cm(h) (*×) c1 h: [∞+,2+,∞] Шаблон:CDD cm(v) (*×) c1 v: [∞,2+,∞+] Шаблон:CDD pgg (22×) pg2g [((∞,2)+)[2]] Шаблон:CDD cmm (2*22) c2 [∞,2+,∞] Шаблон:CDD Параллелограммный (косой) p1 (°) pШаблон:Overline p2 (2222) pШаблон:Overline

Шестиугольная/Треугольная [6,3], Шаблон:CDD / [3[3]], Шаблон:CDD p1 (°) pШаблон:Overline p2 (2222) pШаблон:Overline [6,3]Δ cmm (2*22) c2 [6,3]⅄ p3 (333) pШаблон:Overline [1+,6,3+] Шаблон:CDD [3[3]]+ Шаблон:CDD p3m1 (*333) p3 [1+,6,3] Шаблон:CDD [3[3]] Шаблон:CDD p31m (3*3) h3 [6,3+] Шаблон:CDD p6 (632) pШаблон:Overline [6,3]+ Шаблон:CDD p6m (*632) p6 [6,3] Шаблон:CDD

Взаимосвязь подгрупп обоев

В приведенной ниже таблице на пересечении строки, соответствующей группе $G$, и столбца, соответствующего группе $H$, находится минимальный индекс подгруппы $G$, изоморфной $H$. На диагонали находится минимальный индекс собственной подгруппы, изоморфной объемлющей группе.

Взаимосвязь подгрупп 17-и групп обоев

		o	2222	××	**	*×	22×	22*	*2222	2*22	442	4*2	*442	333	*333	3*3	632	*632
		p1	p2	pg	pm	cm	pgg	pmg	pmm	cmm	p4	p4g	p4m	p3	p3m1	p31m	p6	p6m
o	p1	2
2222	p	2	2	2
××	pg	2		2
**	pm	2		2	2	2
*×	cm	2		2	2	3
22×	pgg	4	2	2			3
22*	pmg	4	2	2	2	4	2	3
*2222	pmm	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2*22	cmm	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	p4	4	2								2
4*2	p4g	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
*442	p4m	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	p3	3												3
*333	p3m1	6		6	6	3								2	4	3
3*3	p31m	6		6	6	3								2	3	4
632	p6	6	3											2			4
*632	p6m	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

См. также

• Список групп сферической симметрии
• Шаблон:Не переведено 5 — Гиперболические группы симметрии

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга (Orbifold notation for polyhedra, Euclidean and hyperbolic tilings)

• Шаблон:Книга
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• "Conway's manuscript" on Orbifold notation (Notation changed from this original, x is now used in place of open-dot, and o is used in place of the closed dot)
• The 17 Wallpaper Groups