Дуопризма

Множество однородных p, q-дуопризм
Type	Шаблон:Не переведено 5
Символ Шлефли	{p}×{q}
Диаграмма Коксетера — Дынкина	Шаблон:CDD
Ячейки	p q-угольных призм, q p-угольных призм
Грани	pq квадратов, p q-угольников, q p-угольников
Рёбра	2pq
Вершины	pq
Вершинная фигура	Равногранный тетраэдр
Шаблон:Не переведено 5	[p,2,q], order 4pq
Двойственный	p, q-Шаблон:Не переведено 5
Свойства	выпуклый, вершинно однородный

Множество однородных p, p-дуопризм
Тип	Шаблон:Не переведено 5
Символ Шлефли	{p}×{p}
Диаграмма Коксетера — Дынкина	Шаблон:CDD
Ячейки	2p p-gonal prisms
Грани	p² squares, 2p p-gons
Рёбра	2p²
Вершины	p²
Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Brackets = [2p,2⁺,2p], order 8p²
Двойственный	p, p-Шаблон:Не переведено 5
Properties	выпуклый, вершинно однородный, Шаблон:Не переведено 5

Дуопризма — многогранник, полученный прямым произведением двух многогранников, каждое размерности два и выше. Прямое произведение n-многогранника и m-многогранника — это (n+m)-многогранник, где n и m не меньше 2 (многоугольник или многогранник).

Дуопризмы наименьшей размерности существуют в 4-мерном пространстве как 4-мерные многогранники, будучи прямым произведением двух многоугольников в 2-мерном евклидовом пространстве. Точнее, это множество точек:

P_{1} \times P_{2} = {(x, y, z, w) | (x, y) \in P_{1}, (z, w) \in P_{2}}

,

где P₁ и P₂ — два множества точек, расположенные в многоугольниках (сомножителях). Если оба многоугольника выпуклы, такая дуопризма выпукла и ограничена призматическими ячейками.

Терминология

Четырёхмерные дуопризмы считаются призматическими 4-мерными многогранниками. Дуопризма, полученная произведением двух правильных многоугольников с той же самой длиной рёбер, называется однородной дуопризмой.

Дуопризма, полученная из n-многоугольника и m-многоугольника, называется добавлением «дуопризма» после имён базовых многоугольников, например, треугольно-пятиугольная дуопризма — это произведение треугольника и пятиугольника.

Альтернативный путь именования — это добавление префикса с указанием числа сторон базовых многоугольников, например, 3,5-дуопризма — это треугольно-пятиугольная дуопризма.

Другие альтернативные имена:

q-угольно-p-угольная призма
q-угольно-p-угольная двойная призма
q-угольно-p-угольная гиперпризма

Термин дуопризма был введён Джорджем Ольшевски как сокращение от double prism (двойная призма). Джон Хортон Конвей предложил похожее имя proprism как сокращение от product prism (произведение призм). Дуопризмы являются пропризмами, образованные произведением в точности двух многогранников.

Пример 16,16-дуопризмы

Диаграмма Шлегеля Показана проекция из центра одной 16-угольной призмы и все, кроме одной, противоположные 16-угольные призмы.	Развёртка Показаны два множества 16-угольных призм. Верхняя и нижняя грани вертикального цилиндра соединены в четырёхмерном пространстве.

Геометрия 4-мерных дуопризм

4-мерная Шаблон:Не переведено 5 дуопризма получается произведение правильного n-стороннего многоугольника и правильного m-стороннего многоугольника с одинаковыми длинами сторон. Она ограничена n m-угольными призмами и m n-угольными призмами. Например, прямое произведение треугольника и шестиугольника — это дуопризма, ограниченная шестью треугольными призмами и тремя шестиугольными.

Если m и n идентичны, результирующая дуопризма ограничена 2n одинаковыми n-угольными призмами. Например, прямое произведение двух треугольников — это дуопризма, ограниченная шестью треугольными 6 призмами.

Если m иn равны 4, результирующая дуопризма ограничена восемью квадратными призмами (кубами) и идентична тессеракту.

m-угольные призмы соединены друг с другом m-угольными гранями и образуют замкнутый цикл. Подобным обрразом n-угольные призмы соединены друг с другом n-угольными гранями и образуют другой замкнутый цикл, перпендикулярный первому. Эти два цикла соединены друг с другом через их квадратные грани и взаимно перпендикулярны.

При стремлении m и n к бесконечности соответствующие дуопризмы приближаются к Шаблон:Не переведено 5. Таким образом, дуопризмы полезны как неквадратичные приближения к дуоцилиндрам.

Развёртки

Перспективные проекции

Центрированная относительно ячейки перспективная проекция дуопризмы выглядит как тор с двумя множествами ортогональных ячеек, p-угольных и q-угольных призм.

Диаграммы Шлегеля
6-призма	Шаблон:Не переведено 5

Шестиугольная призма, спроецированная перспективно на плоскость и центрированная относительно шестиугольной грани, выглядит как два шестиугольника, соединённые (деформированными) квадратами. Подобным же образом проекция 6,6-дуопризмы в трёхмерное пространство близка тору, шестиугольному как в плоскости, так и в сечении.

(p, q)-дуопризмы идентичны (q, p)-призмам, но в проекциях выглядит различными, поскольку центрированы относительно различных ячеек.

Диаграммы Шлегеля
Шаблон:Не переведено 5	3-4	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5
4-3	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	4-7	Шаблон:Не переведено 5
Шаблон:Не переведено 5	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	6-5	Шаблон:Не переведено 5	6-7	Шаблон:Не переведено 5
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	8-5	Шаблон:Не переведено 5	8-7	Шаблон:Не переведено 5

Ортогональные проекции

Вершинно-центрированные ортогональные проекции p, p-дуопризм имеет симметрию [2n] для нечётных значений и [n] для чётных, при этом n вершин проецируется в центр. Для 4,4 это представляет плоскость Коксетера A³ тессеракта. Проекция 5,5 идентична трёхмерному ромботриаконтаэдру.

Каркасы ортогональных проекций p, p-дуопризм
Нечётные
Шаблон:Не переведено 5		5-5		7-7		9-9

[3]	[6]	[5]	[10]	[7]	[14]	[9]	[18]
Чётные
Шаблон:Не переведено 5 (тессеракт)		Шаблон:Не переведено 5		Шаблон:Не переведено 5		Шаблон:Не переведено 5

[4]	[8]	[6]	[12]	[8]	[16]	[10]	[20]

Связанные многогранники

Правильный косой многогранник, {4,4|n}, существует в 4-мерном пространстве как n² квадратных граней n-n дуопризмы, использующий все 2n² рёбер и n² вершин. 2n n-угольные грани можно рассматривать как удалённые. (Косые многогранники можно рассматривать таким же образом как n-m дуопризмы, но они не являются правильными.)^[1]

Шаблон:-

Дуоантипризма

Подобно антипризмам как альтернированным призмам существует множество 4-мерных дуоантипризм — это 4-многогранники, которые можно создать операцией Шаблон:Не переведено 5, применённой к дуопризме. Альтернированные вершины создают неправильные тетраэдральные ячейки, за исключением специального случая дуопризмы 4-4 (тессеракта), при которой получается однородный (и правильный) шестнадцатиячейник. Шестнадцатиячейник является единственной однородной дуоантипризмой.

Дуопризмы Шаблон:CDD, t_0,1,2,3{p,2,q}, могут быть альтернированы в Шаблон:CDD, ht_0,1,2,3{p,2,q}, «дуоантипризмы», которые нельзя получить однородными. Единственное выпуклое однородное решение — тривиальный случай p=q=2, который является наименьшей по симметрии конструкцией тессеракта Шаблон:CDD, t_0,1,2,3{2,2,2}, с альтернированием в шестнадцатиячейник, Шаблон:CDD, s{2}s{2}.

Единственное невыпуклое однородное решение — p=5, q=5/3, ht_0,1,2,3{5,2,5/3}, Шаблон:CDD, полученное из 10 пятиугольных антипризм, 10 Шаблон:Не переведено 5 и 50 тетраэдов. Этот многогранник известен под именем Шаблон:Не переведено 5^[2]^[3].

Многогранники k₂₂

Шаблон:Не переведено 5, −1₂₂, является первой в серии размерностей однородных многогранников, обозначенных Коксетером как серия k₂₂. 3,3-дуопризма является вершинной фигурой второй фигуры, Шаблон:Не переведено 5. Четвёртой фигурой являются евклидовы соты, Шаблон:Не переведено 5 Последней фигурой являются паракомпактные гиперболические соты, 3₂₂, с группой Коксетера [3_2,2,3], ${\bar{T}}_{7}$ . Каждый последующий однородный многогранник строится из предыдущего (предыдущий служит его вершинной фигурой). Шаблон:Многогранники K 21

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Книга
Шаблон:Книга
- Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
Шаблон:Книга
Шаблон:Книга
Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга

Шаблон:Не переведено 5 Duoprism на Glossary for Hyperspace
- Шаблон:Не переведено 5 Cartesian product на Glossary for Hyperspace
- Каталог выпуклых многогранников Шаблон:Не переведено 5

Ссылки

The Fourth Dimension Simply Explained—describes duoprisms as «double prisms» and duocylinders as «double cylinders»
Polygloss — glossary of higher-dimensional terms
Exploring Hyperspace with the Geometric Product

Шаблон:Многогранники

Шаблон:Rq

↑ В английской литературе skew polyhedron (косой многогранник) соответствует трёхмерной фигуре, для которой в русском языке прижился термин косой многоугольник. Термин skew polytop (косой политоп) соответствует многомерной (размерность больше трёх) фигуре. В данной статье используется термин косой многогранник для всех размерностей.
↑ Jonathan Bowers — Miscellaneous Uniform Polychora Шаблон:Wayback 965. Gudap
↑ http://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif Шаблон:Wayback Animation of cross sections

[1] В английской литературе skew polyhedron (косой многогранник) соответствует трёхмерной фигуре, для которой в русском языке прижился термин косой многоугольник. Термин skew polytop (косой политоп) соответствует многомерной (размерность больше трёх) фигуре. В данной статье используется термин косой многогранник для всех размерностей.

[2] Jonathan Bowers — Miscellaneous Uniform Polychora Шаблон:Wayback 965. Gudap

[3] ttp://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif Шаблон:Wayback Animation of cross sections

[1]

[2]

[3]

Дуопризма

Содержание

Терминология

Пример 16,16-дуопризмы

Геометрия 4-мерных дуопризм