Математические основы квантовой механики

Шаблон:Физическая теория Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений, позволяющий вычислять численные значения наблюдаемых в квантовой механике величин. Были созданы Луи де-Бройлем (открытие волн материи), В. Гейзенбергом (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером (уравнение Шрёдингера), Н. Бором (формулировка принципа дополнительности). Завершил создание математических основ квантовой механики и придал им современную форму П. А. М. Дирак. Отличительным признаком математических уравнений квантовой механики является наличие в них символа постоянной Планка.

Наблюдаемые величины и векторы состояний

В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния.

Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний)Шаблон:Sfn. Каждой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор или матрица. Например, радиусу-вектору частицы $x$ соответствует оператор умножения $x$, импульсу частицы соответствует оператор $\hat{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$, моменту импульса соответствует оператор

$\hslash \hat{L}=\hat{x}\times \hat{p}=-i\hslash \times \mathrm{\nabla }.$

Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).Шаблон:Sfn

Волновые функции удовлетворяют квантовому принципу суперпозиции: если два возможных состояния изображаются волновыми функциями ${\psi }_1$ и ${\psi }_2$, то существует и третье состояние, изображаемое волновой функцией

$\psi =c_1{\psi }_1+c_2{\psi }_2,$

где $c_1$ и $c_2$ -произвольные амплитудыШаблон:Sfn.

Результатом точного измерения физической величины $A$ могут быть только собственные значения этого оператора $\hat{A}$.Шаблон:Sfn

Математическое ожидание $\bar{A}$ значений величины $A$ в состоянии $\psi$ вычисляется как $\bar{A}=(\psi ,\hat{A}\psi )$. Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).Шаблон:Sfn

Векторы состояний ${\psi }_1$ и ${\psi }_2$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда ${\psi }_2=c{\psi }_1,$ где $c$ — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор. Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины $A$ в состоянии $\psi$ задаются мерой:

$d{m}_{\hat{A},\psi }(a)=d(E_a\psi ,\psi ),$

где $\hat{A}$ — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине $a$, $\psi$ — вектор состояния, $E_a$ — спектральная функция оператора $\hat{A}$, круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию

$\psi \to U\psi ,A\to UA{U}^{-1}.$

В этом случае любая имеющий смысл физическая величина $(A\psi ,\psi )$ не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

Полный набор совместно наблюдаемых величин

Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов $A_i,i=1,...k$ образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности ($[A_i,A_j]=0$ для всех $i,j=1,...k$), взаимной независимости (ни один из операторов $A_i$ не может быть представлен в виде функции от остальных), полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми $A_i$ и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций $\psi (a_1,...a_k)$ со скалярным произведением:

$({\psi }_1,{\psi }_2)=\int {\psi }_1(a_1,...a_k)\overline{{\psi }_2(a_1,...a_k)}d\mu (a_1,...a_k).$

Операторы $A_i$ являются операторами умножения на соответствующие переменные:

$A_i\psi (a_1,...a_k)=a_i\psi (a_1,...a_k).$

Совместное распределение значений наблюдаемых:

$P(a_1,...a_k)={|\psi (a_1,...a_k)|}^{2}d\mu (a_1,...a_k).$

Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы

В случае частицы в трёхмерном пространстве $x=(x_1,x_2,x_3)$ наблюдаемыми величинами являются координаты $Q_1,Q_2,Q_3$ и импульсы $P_1,P_2,P_3$.

В представлении Шрёдингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции $\psi (x)$ со скалярным произведением:

$({\psi }_1,{\psi }_2)=\int {\psi }_1(x)\overline{{\psi }_2(x)}dx.$

Операторы координат представляют собой операторы умножения:

$\widehat{x_j}\psi (x)=x_j\psi (x),j=1,2,3.$

Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:

$\widehat{p_j}\psi (x)=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x_j}\psi (x),j=1,2,3.$

Соотношения коммутации

Операторы декартовых координат $\widehat{x_i}$ и операторы импульсов $\widehat{p_i}$ удовлетворяют соотношениям коммутации:

$[\widehat{p_i},\widehat{x_k}]=-i\hslash {\delta }_{ik},$

$[\widehat{p_i},\widehat{p_k}]=0,$

$[\widehat{x_i},\widehat{x_k}]=0.$

Здесь $\hslash$ — постоянная Планка.Шаблон:Sfn

Уравнения Гамильтона

Матричные элементы операторов декартовых координат $\widehat{x_i}$ и операторов импульсов $\widehat{p_i}$ удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:

$\frac{d}{dt}(f,\widehat{p_i}g)=-(f,\frac{\partial \hat{H}}{\partial \widehat{x_i}}g),$

$\frac{d}{dt}(f,\widehat{x_i}g)=(f,\frac{\partial \hat{H}}{\partial \widehat{p_i}}g).$

Здесь $\hat{H}$ — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.Шаблон:Sfn

Уравнение Шрёдингера

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шрёдингера

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi ,$

где $\hat{H}$ — гамильтониан:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{{\partial x}^2}+\frac{{\partial }^2}{{\partial y}^2}+\frac{{\partial }^2}{{\partial z}^2})+{\hat{E}}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}.$

Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шрёдингера:

$\hat{H}\psi =E\psi .$

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

Принцип тождественности

В любой паре одинаковых элементарных частиц можно поменять местами элементарные частицы без возникновения физически нового состояния. Математически принцип тождественности означает условие на собственные значения $\lambda =\pm 1$ оператора перестановки $P_{kj}$: $P_{kj}\psi =\lambda \psi$Шаблон:Sfn.

Состояния с $\lambda =-1$ являются антисимметричными (фермионы с полуцелым спином), c $\lambda =+1$ являются симметричными (бозоны с целым спином).

См. также

• Оператор (физика)
• Гейзенберговское представление операторов
• Алгебраическая квантовая теория
• Волновая функция
• Операторы
• Оператор Гамильтона
• Уравнение Шрёдингера
• Представление Шрёдингера
• Представление Гейзенберга
• Уравнение Паули
• Уравнение Дирака
• Вторичное квантование

Литература

• Шаблон:Книга
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
• Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.
• Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.
• Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
• Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.
• Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Москва: УРСС 1999. 214с.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга