Арифметическая группа

Арифметическая группа — это группа, получаемая как целые точки алгебраической группы, например, ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}).$ Арифметические группы возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических областей теории чисел. Они также являются источником для очень интересных примеров римановых многообразий, а потому представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теорию автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

История

Одним из источников математической теории арифметических групп является алгебраическая теория чисел. Классическую теорию приведения квадратичных и эрмитовых форм Шарля Эрмита, Германа Минковского и других можно рассматривать как вычисление фундаментальных областей действий некоторых арифметических групп на соответствующих симметрических пространствахШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эта область была связана с геометрией чисел Минковского и ранними разработками в изучении арифметических инвариантов числовых полей, таких как дискриминант. Арифметические группы можно рассматривать как сильное обобщение групп единиц числовых полей на некоммутативные условия.

Те же группы появляются также в аналитической теории чисел при изучении классических модулярных форм и при разработке их обобщений. Конечно, две области были связаны, как можно видеть в примере лагландовского вычисления объёма некоторых фундаментальных областей с помощью аналитических методовШаблон:Sfn. Кульминацией этой классической теории была работа Зигеля, который показал во многих случаях конечность объёма фундаментальной области.

Для развития современной теории была необходима подготовительная работа и эту работу в области алгебраических групп сделали Арман Борель, Андре Вейль, Жак Титс и другиеШаблон:SfnШаблон:Sfn. Вскоре после этого Борель и Хариш-Чандра доказали конечность кообъёма в полной общностиШаблон:Sfn. Тем временем наблюдался прогресс в общей теории решёток в группах Ли, который обеспечили работы Атле Сельберга, Григория Маргулиса и Давида Каждана, М. С. Рагунатана и других. Современное положение после этого периода было зафиксировано в трактате Рагунатана, опубликованном в 1972Шаблон:Sfn.

В семидесятых годах Маргулис революционизировал эту область, доказав, что в «большинстве» случаев арифметические построения применимы ко всем решёткам в данной группе ЛиШаблон:Sfn. Некоторые ограниченные результаты в этом направлении были получены ранее Селбергом, но методы Маргулиса (использование эргодических теоретических средств для действия на однородные пространства) были совершенно новыми в этом контексте и оказали крайне высокое влияние на последующих исследователей, эффективно обновляя старую дисциплину геометрии чисел, что позволило самому Маргулису доказать Шаблон:Не переведено 5. Более строгие результаты (Шаблон:Не переведено 5) были позднее получены Мариной Ратнер.

В другом направлении, классическая теория модулярных форм расцвела в виде современной теории автоморфных форм. Движущей силой этого расцвета в большей части была программа, предложенная Робертом Ленглендсом. Одним из основных средств, используемых здесь, является Шаблон:Не переведено 5, представленная в работе СелбергаШаблон:Sfn и развитая для более общих условий Джеймсом АртуромШаблон:Sfn.

Наконец, арифметические группы часто используются для построения интересных примеров локально симметричных римановых многообразий. Особенно активно исследования проводились в области арифметических гиперболических 3-многообразий, о которых Тёрстон писалШаблон:Sfn: «...часто имеют особую красоту».

Определение и построение

Арифметические группы

Если $\mathrm{G}$ является алгебраической подгруппой группы ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Q})$ для некоторого $n$, то мы можем определить арифметическую подгруппу группы $\mathrm{G}(\mathbb{Q})$ как группу целых точек $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})\cap \mathrm{G}(\mathbb{Q})$. В общем случае не очевидно, как точно определить понятие «целых точек» $\mathbb{Q}$-группы, а подгруппа, определённая выше, может меняться, если мы возьмём другое вложение $\mathrm{G}\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Q}).$

Тогда лучшее определение понятия — взять в качестве определения арифметической подгруппы группы $\mathrm{G}(\mathbb{Q})$ любую группу $\mathrm{\Lambda }$, которая Шаблон:Не переведено 5 (это значит, что как $\mathrm{\Gamma }/(\mathrm{\Gamma }\cap \mathrm{\Lambda })$, так и $\mathrm{\Lambda }/(\mathrm{\Gamma }\cap \mathrm{\Lambda })$ являются конечными множествами) с группой $\mathrm{\Gamma }$, определённой выше (с учётом любого вложения в ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$). По этому определению с алгебраической группой $\mathrm{G}$ ассоциирован набор «дискретных» подгрупп, соизмеримых друг с другом.

Использование числовых полей

Естественным обобщением вышеприведённого построения является следующее: пусть $F$ — числовое поле с кольцом целых $O$, а $\mathrm{G}$ — алгебраическая группа над $F$. Если нам задано вложение $\rho :\mathrm{G}\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$, определённое над $F$, то подгруппа ${\rho }^{-1}({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(O))\subset \mathrm{G}(F)$ может быть с полным основанием названа арифметической группой.

С другой стороны, класс групп, полученных таким образом, не больше, чем класс арифметических групп, определённых выше. Более того, если мы рассмотрим алгебраическую группу ${\mathrm{G}}^{\prime }$ над $\mathbb{Q}$, полученную ограничением скаляров из $F$ в $\mathbb{Q}$, и $\mathbb{Q}$-вложение ${\rho }^{\prime }:{\mathrm{G}}^{\prime }\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_{dn}$, порождённое $\rho$ (где $d=[F:\mathbb{Q}]$), то группа, построенная выше, совпадает с $({\rho }^{\prime }{)}^{-1}({\mathrm{G}\mathrm{L}}_{nd}(\mathbb{Z}))$.

Примеры

Классическим примером арифметической группы является ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$ или тесно связанные группы ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$, ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$ и ${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$. Для $n=2$ группа ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$ или, иногда, ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$, называется модулярной группой, так как она связана с модулярной кривой. Похожими примерами являются Шаблон:Не переведено 5 ${\mathrm{S}\mathrm{p}}_{2g}(\mathbb{Z})$.

Другие хорошо известные и изученные примеры — Шаблон:Не переведено 5 ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(O_{-m})$, где $m>0$ является свободным от квадратов целым, а $O_{-m}$ является кольцом целых в поле $\mathbb{Q}(\sqrt{-m})$, и Шаблон:Не переведено 5 ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(O_m)$.

Другие классические примеры задаются целыми элементами в ортогональной группе квадратичных форм, определённых над числовым полем, например, $\mathrm{S}\mathrm{O}(n,1)(\mathbb{Z})$. Связанное построение — выбор групп единиц Шаблон:Не переведено 5 в алгебрах кватернионов над числовыми полями (например, Шаблон:Не переведено 5). Похожие построения можно осуществить с унитарными группами эрмитовых форм и хорошо известным примером является Шаблон:Не переведено 5.

Арифметические решётки в полупростых группах Ли

Когда $G$ является группой Ли, можно определить арифметическую решётку в $G$ следующим образом: для любых алгебраических групп $\mathrm{G}$, определённых над $\mathbb{Q}$, таких, что существует морфизм $\mathrm{G}(ℝ)\to G$ с компактным ядром, образ арифметической подгруппы в $\mathrm{G}(\mathbb{Q})$ является арифметической решёткой в $G$. Поэтому, например, если $G=\mathrm{G}(ℝ)$ и $G$ являются подгруппами ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$, то $G\cap {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$ является арифметической решёткой в $G$ (однако существует много больше решёток, соответствующих другим вложениям). Например, ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$ является арифметической решёткой в ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(ℝ)$.

Теорема Бореля — Хариш-Чандры

Решётка в группе Ли обычно определяется как дискретная подгруппа с конечным кообъёмом. Терминология, представленная выше, сцеплена с этой, поскольку теорема, принадлежащая Борелю и Хариш-Чандре, утверждает, что арифметическая подгруппа в полупростой группе Ли имеет конечный кообъём (дискретность очевидна).

Теорема более точна, она утверждает, что арифметическая решётка является кокомпактной тогда и только тогда, когда «форма» группы $G$, используемая для её определения (т.е. $\mathbb{Q}$-группа $\mathrm{G}$) анизотропна. Например, арифметическая решётка, ассоциированная с квадратичной формой от $n$ переменных над $\mathbb{Q}$, будет кокомпактной в ассоциированной ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль в любой точке на ${\mathbb{Q}}^n\setminus \{0\}$.

Теорема Маргулиса об арифметичности

Блистательный результат, полученный Маргулисом, является частичным обращением теоремы Бореля — Хариш-Чандры: для определённых групп любая решётка является арифметической. Этот результат верен для всех неприводимых решёток в полупростых группах Ли вещественного ранга, большего двухШаблон:SfnШаблон:Sfn. Например, все решётки в ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(ℝ)$ являются арифметическими, если $n⩾3$. Главным новым элементом, который использовал Маргулис для доказательства теоремы, была Шаблон:Не переведено 5 решёток в группах высокого ранга, которую он доказал для получения своего результата.

Неприводимость играет роль, только если $G$ имеет множитель с вещественным рангом единица (в противном случае теорема выполняется всегда) и не проста. Это означает, что для любого разложения $G=G_1\times G_2$ решётка несоизмерима с произведением решёток в каждом множителе $G_i$. Например, решётка ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}[\sqrt{2}])$ в ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)\times {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ неприводима, в то время как ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})\times {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$ таковой не является.

Теорема Маргулиса об арифметичности (и супержёсткости) выполняется для некоторых групп Ли ранга 1, а именно $\mathrm{S}\mathrm{p}(n,1)$ для $n⩾1$ и исключительной группы $F_4^{-20}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Известно, что теорема не выполняется для всех групп $\mathrm{S}\mathrm{O}(n,1)$ для $n⩾2$ и для $\mathrm{S}\mathrm{U}(n,1)$ при $n=1,2,3$. Не известны неарифметические решётки в группах $\mathrm{S}\mathrm{U}(n,1)$, если $n⩾4$.

Арифметические фуксовы и кляйновы группы

Арифметическая фуксова группа строится из следующих данных: Шаблон:Не переведено 5 $F$, алгебра кватернионов $A$ над $F$ и порядок $𝒪$ в $A$. Требуем, чтобы для одного вложения $\sigma :F\to ℝ$ алгебра $A^{\sigma }{\otimes }_Fℝ$ была изоморфна матричной алгебре $M_2(ℝ)$, а все остальные должны быть изоморфны кватернионам Гамильтона. Тогда группа единиц ${𝒪}^1$ является решёткой в $(A^{\sigma }{\otimes }_Fℝ{)}^1$, которая изоморфна ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ и кокомпактна во всех случаях, за исключением случаев, когда $A$ является матричной алгеброй над $\mathbb{Q}$. Все арифметические решётки в ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ получаются таким образом (с точностью до соизмеримости).

Арифметические кляйновы группы строятся аналогично, за исключением того, что от $F$ требуется наличие в точности одного комплексного места, а для всех вещественных мест $A$ должны быть кватернионами Гамильтона. Они исчерпывают все арифметические классы соизмеримости в ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℂ).$

Классификация

Для любой простой полупростой группы Ли $G$, теоретически, возможно классифицировать (с точностью до соизмеримостью) все арифметические решётки в $G$, аналогично случаям $G={\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ),{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℂ)$, описанным выше. Это сводится к классификации алгебраических групп, вещественные точки которых изоморфны с точностью до компактного множителя группе $G$Шаблон:Sfn.

Задача о конгруэнтной подгруппе

Конгруэнтная подгруппа является (грубо говоря) подгруппой арифметической группы, определённой выбором всех матриц, удовлетворяющих некоторым уравнениям по модулю целого числа, например, выбором группы 2 х 2 целочисленных матриц с диагональными (соответственно, внедиагональными) элементами, конгруэнтными 1 (соответственно, 0) по модулю положительного целого числа. Они всегда являются подгруппами конечного индекса, а задача о конгруэнтной подгруппе, грубо говоря, спрашивает, получаются ли все подгруппы таким образом. Гипотеза (обычно приписываемая Серру), утверждает, что это верно для (неприводимых) решёток в группах высокого ранга и неверно для групп ранга единица. Гипотеза остаётся открытой в такой общности, но имеется много результатов, устанавливающую верность гипотезы для конкретных решёток (для положительного и отрицательного случаев).

$S$-арифметические группы

Вместо выбора целых точек в определении арифметической решётки можно взять точки, которые являются целыми только вне конечного набора простых чисел. Это ведёт к понятию $S$-арифметической решётки (где $S$ означает набор чисел, обратных простым). Прототипичным примером является ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2\left(\mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right]\right)$. Они являются естественными решётками в некоторых топологических группах, например, ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2\left(\mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right]\right)$ является решёткой в ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)\times {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2({\mathbb{Q}}_p).$

Определение

Формальное определение $S$-арифметической группы для конечного множества простых чисел $S$ такое же, что и для арифметических групп с ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$, заменённым на ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n\left(\mathbb{Z}\left[\frac{1}{N}\right]\right)$, где $N$ является произведением простых в $S$.

Решётки в группах Ли над локальными полями

Теорема Бореля — Хариш-Чандры обобщается на $S$-арифметические группы следующим образом: если $\mathrm{\Gamma }$ является $S$-арифметической группой группы в $\mathbb{Q}$-алгебраической группе $\mathrm{G}$, то $\mathrm{\Gamma }$ является решёткой в локально компактной группе

$G=\mathrm{G}(ℝ)\times \prod _{p\in S}\mathrm{G}({\mathbb{Q}}_p)$.

Некоторые приложения

Явные экспандеры

Арифметические группы со Шаблон:Не переведено 5 или более слабым свойством ($\tau$) Любоцкого и Циммера можно использовать для построения экспандеров (Маргулис) или чётных графов Рамануджана (Любоцкий — Филлипс — СарнакШаблон:SfnШаблон:Sfn). Известно, что такие графы существуют в изобилии согласно вероятностным доводам, но явная природа таких построений делают их интересными.

Экстремальные поверхности и графы

Известно, что конгруэнтность накрытий Шаблон:Не переведено 5 приводит к поверхностям с большим радиусом инъективностиШаблон:Sfn. Подобным же образом графы Рамануджана, построенные Любоцким, Филлипсом и Сарнаком, имеют большой обхват. Известно, что из свойства Рамануджана вытекает, что локальные обхваты графа почти всегда большиеШаблон:Sfn.

Изоспектральные многообразия

Арифметические группы могут быть использованы для построения изоспектральных многообразий. Впервые это построение реализовала Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn и вскоре после этого появились различные варианты её построения. Задача изоспектральности является, фактически, очень пригодной для изучения в ограниченных условиях арифметических многообразийШаблон:Sfn.

Ложные проективные плоскости

Ложная проективная плоскостьШаблон:Sfn — это комплексная поверхность, которая имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость ${\mathbb{P}}^2(ℂ)$, но не Шаблон:Не переведено 5 ей. Первый пример такой плоскости нашёл Мамфорд. Согласно труду Клинглера (независимо проверенного Енгом) все они являются факторпространствами 2-шара по арифметическим решёткам в $\mathrm{P}\mathrm{U}(2,1)$. Возможные решётки классифицировали Прасад и Енг, а завершили классификацию Картрайт и Стигер, проверившие, что они действительно соответствуют ложным проективным плоскостям.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга